# cos x、sin x、e^x、ln(x) 的导数

> AP 微积分 AB · 求导：定义与基本性质
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-derivatives-of-cos-sin-e/

本指南讲解四个常见超越函数：正弦、余弦、自然指数函数$e^x$和自然对数函数$\ln x$的核心求导法则，包含完整例题、常见误区和AP微积分AB考试提示。

**先修:** 导数的极限定义; 标准三角极限恒等式; 指数与对数函数的基本性质; [第二单元 导数概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-overview/)

## 学习目标

- 推导并记住$\sin x$、$\cos x$、$e^x$和$\ln x$的核心求导法则
- 运用这些法则对这些函数的组合求导
- 运用这些法则计算切线斜率与切线方程
- 识别并避免运用这些法则时的常见错误

## 核心概述

本主题讲解AP微积分AB考试中最常考的四个非代数（超越）函数的核心求导法则，占第二单元总分占比（10–12%）的一部分，几乎每场考试都会考到，既会出独立选择题，也会作为长自由回答题中必要的中间步骤。

你会运用这些法则求解函数组合的导数、切线斜率和瞬时变化率问题。和代数函数的幂法则不同，这些法则对每个函数是特定的，需要（基于定义）记忆才能正确运用。掌握这些法则对所有后续求导主题来说是必须的。

## 正弦与余弦函数的导数

**推导:** 从第一原理推导$\sin x$和$\cos x$的求导法则

*起点:* 导数的极限定义和三角加法恒等式

1. 从$\frac{d}{dx}[\sin x]$的极限定义出发：
2. $$\lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$$
3. 用正弦加法恒等式拆分极限：
4. $$\lim_{h \to 0} \left( \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h} \right)$$
5. 代入标准三角极限$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$和$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$，然后化简。对$\cos x$重复该过程得到第二条法则。

*结论:* 最终求导法则为：对所有实数$x$，有$\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x$和$\frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x$。

**正弦与余弦函数的求导法则** — $\sin x$的导数是$\cos x$，$\cos x$的导数是$-\sin x$。余弦导数的负号可以通过余弦函数图像在任意测试点的斜率验证。

*例:* 在$x = \frac{\pi}{2}$处，$\cos x$的斜率为$-1$，和$-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1$一致。

**例题:** 求$f(x) = 3\sin x - 2\cos x$在$x = \pi$处切线的斜率。

1. 运用和法则与常数倍法则将求导拆分到每个项。
2. 运用正弦和余弦的求导法则：

   $$\frac{d}{dx}[3\sin x] = 3\cos x \quad \frac{d}{dx}[-2\cos x] = -2(-\sin x) = 2\sin x$$
3. 合并项得到导函数：

   $$f'(x) = 3\cos x + 2\sin x$$
4. 在$x = \pi$处计算导数值：

   $$f'(\pi) = 3\cos(\pi) + 2\sin(\pi) = 3(-1) + 2(0) = -3$$
5. $x = \pi$处切线的斜率是$-3$。

> **考试提示:** 务必反复检查余弦导数的符号：负号是三角函数导数选择题中最常被遗漏的细节。如果你的答案只差一个负号，几乎肯定是这里错了。

## 自然指数函数$e^x$的导数

**推导:** 从极限定义推导$e^x$的导数

*起点:* 导数的极限定义和欧拉常数$e$的定义

1. 从极限定义出发：

   $$\frac{d}{dx}[e^x] = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}$$
2. 提出对极限来说是常数的$e^x$：

   $$e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$$
3. 根据$e$的定义，极限$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$。

*结论:* $\frac{d}{dx}[e^x] = e^x$：自然指数函数的导数就是它本身。

> **warning**
>
> 这个法则仅适用于指数恰好为$x$的情况。你学习链式法则后会将这个法则推广到复合指数函数，但绝对不要对$e^x$用幂法则，因为$e$是常数底数，不是变量。

**例题:** 已知$f(x) = 5e^x + \sin x - 4$，求$f'(0)$。

1. 运用和差法则逐项求导。
2. 用核心法则对每一项求导：

   $$\frac{d}{dx}[5e^x] = 5e^x, \quad \frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x, \quad \frac{d}{dx}[-4] = 0$$
3. 合并项得到导函数：

   $$f'(x) = 5e^x + \cos x$$
4. 在$x=0$处计算：

   $$f'(0) = 5e^0 + \cos 0 = 5(1) + 1 = 6$$
5. 最终结果：$f'(0) = 6$。

> **考试提示:** 不要把$e^x$的导数和幂法则弄混：如果你错误对$e^x$用幂法则，会得到$xe^{x-1}$，这是错的。

## 自然对数函数$\ln x$的导数

**推导:** 用隐函数求导推导$\ln x$的导数

*起点:* 自然对数作为$e^x$反函数的定义，$e^x$的导数

1. 令$y = \ln x$，根据定义，对$x > 0$有$e^y = x$。
2. 对$x$两边求导：

   $$e^y \frac{dy}{dx} = 1$$
3. 解出$\frac{dy}{dx}$并代入$e^y = x$：

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$$

*结论:* $\ln x$的导数是$\frac{1}{x}$，仅在$x > 0$时有定义，和原函数的定义域一致。

**自然对数的导数** — 对所有$x > 0$，$\frac{d}{dx}[\ln x] = \frac{1}{x}$。导数始终为正，符合$\ln x$在定义域内单调递增的性质。

**例题:** 求$y = \ln x + 2e^x$在点$(1, 2e)$处的切线方程。

1. 用$\ln x$和$e^x$的求导法则逐项求导：

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + 2e^x$$
2. 代入$x=1$计算导数得到斜率：

   $$m = \frac{1}{1} + 2e^1 = 1 + 2e$$
3. 使用直线的点斜式：$y - y_1 = m(x - x_1)$，其中$(x_1, y_1) = (1, 2e)$。
4. 代入数值并化简为斜截式：

   $$y - 2e = (1 + 2e)(x - 1) \implies y = (1 + 2e)x - 1$$
5. 切线方程为$y = (1 + 2e)x - 1$。

> **考试提示:** 永远记住$\ln x$的定义域限制：如果题目要求在非正$x$处求$\ln x$的导数，那么导数不存在，因为$\ln x$本身在那里没有定义。这是选择题中常见的陷阱题。

## 概念检查

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你对核心法则的理解。

1. 如果$f(x) = 2e^x - \ln x + 5\cos x$，下列哪项等于$f'(x)$？

   - A) $2e^x - \frac{1}{x} - 5\sin x$
   - B) $2e^x - \frac{1}{x} + 5\sin x$
   - C) $2e^x + \frac{1}{x} - 5\sin x$
   - D) $2x e^{x-1} - \frac{1}{x} - 5\sin x$

   *答案:* A) $2e^x - \frac{1}{x} - 5\sin x$

   *解析:* 正确。逐项求导得$\frac{d}{dx}[2e^x] = 2e^x$，$\frac{d}{dx}[-\ln x] = -\frac{1}{x}$，$\frac{d}{dx}[5\cos x] = -5\sin x$，和选项A一致。选项D错误地对$e^x$使用了幂法则。

## 常见错误

- **错误做法:** 对$\cos x$求导得到$\frac{d}{dx}[\cos x] = \sin x$（遗漏负号）
  - 原因: 学生混淆正弦和余弦导数的规律，把两者都记成正的。
  - 正确做法: 开始解题时，立刻把余弦导数的负号写上，并且可以在$x = \frac{\pi}{2}$这样的测试点检查符号是否符合余弦图像的斜率。
- **错误做法:** 对$e^x$用幂法则得到$\frac{d}{dx}[e^x] = x e^{x-1}$
  - 原因: 学生把常数底数$e$和幂函数中的变量底数$x$弄混。
  - 正确做法: 当你看到底数是$e$时，立刻想起这是指数函数，所以用法则$\frac{d}{dx}[e^x] = e^x$，不要用幂法则。
- **错误做法:** 把$\ln x$的导数写成$\frac{d}{dx}[\ln x] = x$或$\frac{d}{dx}[\ln x] = \ln(1/x)$
  - 原因: 学生把$\ln x$的导数和$e^x$的导数（本身是自身导数）弄混，所以错误认为$\ln x$也是自身的导数。
  - 正确做法: 永远把自然对数导数和倒数联系起来：$\ln x \rightarrow \frac{1}{x}$，没有其他结果。
- **错误做法:** 尝试在$x=0$或$x=-2$处计算$\ln x$的导数，得到斜率为$\frac{1}{x} = -\frac{1}{2}$
  - 原因: 学生忘记$\ln x$的定义域只有正$x$，所以函数在非正输入处不存在，因此导数也不存在。
  - 正确做法: 在某点计算$\ln x$的导数前，先检查该点是否在$\ln x$的定义域内（即$x>0$）。
- **错误做法:** 对$\ln 5$（常数）求导得到$\frac{1}{5}$
  - 原因: 学生看到$\ln$就自动套用$\ln x$的求导法则，忘记$\ln 5$是常数，不是$x$的函数。
  - 正确做法: 运用任何求导法则前，先检查该项是不是常数；任何常数的导数都是零。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 注意事项 |
| --- | --- | --- |
| 正弦导数 | $\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x$ | 自变量为$x$时适用 |
| 余弦导数 | $\frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x$ | 不要忘记负号 |
| $e^x$的导数 | $\frac{d}{dx}[e^x] = e^x$ | 不要使用幂法则；$e$是常数 |
| $\ln x$的导数 | $\frac{d}{dx}[\ln x] = \frac{1}{x}$ | 仅在$x>0$时有定义 |
| 常数倍法则 | $\frac{d}{dx}[c f(x)] = c f'(x)$ | 常数可以从导数中提出来 |
| 和差法则 | $\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)$ | 用于函数的线性组合 |

## 下一步

本主题给你讲解了四个最常见超越函数的核心求导法则，你会在AP微积分AB后续所有求导主题中用到它们。接下来你马上会学习乘积法则和商法则，对这些基本函数的乘积和商求导，之后会学习链式法则，对$e^{2x}$或$\sin(x^2)$这样的复合函数求导。如果没有正确记住这四个基本求导法则，你就无法正确运用乘积、商或链式法则，会在后续所有求导问题中犯下不必要的错误。从更大的范围看，这些法则是所有后续主题（包括图像分析、相关变化率、最优化和积分）的基础。

- [链式法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-chain-rule/)
- [隐函数求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u3-implicit-differentiation/)
- [乘积法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-product-rule/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u2-derivatives-of-cos-sin-e/