导数的定义与导数记号的使用

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB CED — 微分：定义与基本性质· 14 分钟阅读

1. 某点处的导数★★☆☆☆⏱ 4 min

我们从预备微积分中两点间割线斜率的概念推导出某点处的导数，这两个点是 $(a, f (a))$ 和 $(a + h, f (a + h))$ ，其中 $h$ 是两点间的步长。当 $h \to 0$ 时，两点越来越接近，割线斜率趋近于切线斜率，也就是导数。

📘 定义

某点处的导数

常用两种等价的极限形式：

$f (x)$ 在 $x = a$ 处的导数记作 $f^{'} (a)$ ，它是 $f (x)$ 在 $x = a$ 处切线的斜率，等于 $f (x)$ 在该点的瞬时变化率。只有当差商的双侧极限存在时，导数才存在。

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

另一种等价的替代形式常用于识别类问题而非手动计算，它用趋近于 $a$ 的 $x$ 代替了步长 $h$ ：

f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}

📐 例题

使用极限定义计算 $f (x) = 3 x^{2} - 5 x$ 的 $f^{'} (2)$ 。

1
代入 $a = 2$ 到定义中：
$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$
2
展开 $f (2 + h)$ ：
$f(2+h) = 3(2+h)^2 - 5(2+h) = 12 + 12h + 3h^2 - 10 - 5h = 2 + 7h + 3h^2$
3
计算 $f (2)$ 并化简分子：
$f(2) = 3(2)^2 - 5(2) = 2; \quad f(2+h) - f(2) = 7h + 3h^2 = h(7 + 3h)$
4
约去 $h$ ，这在 $h \neq = 0$ 时成立（当取 $h \to 0$ 的极限时该条件满足）：
$\frac{h(7 + 3h)}{h} = 7 + 3h$
5
计算极限得到最终结果：
$\lim_{h \to 0} (7 + 3h) = 7$

Exam tip:

如果AP考题明确要求你使用极限定义求导数，仅使用微分快捷法则将不得分；你必须展示完整的极限计算过程才能得分。

2. 作为函数的导数与导数记号★★☆☆☆⏱ 5 min

一旦我们可以计算任意点 $x = a$ 处的导数，我们就可以把导数本身看作一个函数：输入是所有导数存在的 $x$ ，输出是该 $x$ 点处的导数。

📘 定义

作为函数的导数

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

这是一个函数，对于差商双侧极限存在的任意输入 $x$ ，它输出原函数在该点的导数。导数的定义域就是所有这类 $x$ 的集合。

AP考试中两种标准记号可互换使用：

撇号记号：对于 $y = f (x)$ ，导数写作 $f^{'} (x)$ （读作"f撇x"）或 $y^{'}$ 。对于 $x = a$ 处的导数，写作 $f^{'} (a)$ 或 $y^{'} (a)$ 。
莱布尼茨记号：对于 $y = f (x)$ ，导数写作 $\frac{d y}{d x}$ （读作"d y d x"）或 $\frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $\frac{d}{d x}$ 表示求导运算。对于 $x = a$ 处的导数，写作 $\frac{d y}{d x}_{x = a}$ ，求值竖线放在导数表达式之后。

📐 例题

使用极限定义求 $f (x) = 2 x$ 的 $f^{'} (x)$ 。

1
代入通用极限定义：
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2(x+h)} - \sqrt{2x}}{h}$
2
将分子分母同乘共轭根式对分子有理化：
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{2x + 2h} - \sqrt{2x})(\sqrt{2x + 2h} + \sqrt{2x})}{h(\sqrt{2x + 2h} + \sqrt{2x})}$
3
利用平方差公式化简分子：
$(2x + 2h) - 2x = 2h; \quad f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{h(\sqrt{2x + 2h} + \sqrt{2x})}$
4
约去 $h$ （ $h \neq = 0$ 时成立）并计算极限：
$f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}}$

Exam tip:

使用莱布尼茨记号书写某点处的导数值时，一定要把求值竖线放在导数表达式的后面；在自由问答题中，竖线位置错误会被扣分。

3. 从极限表达式中识别导数★★★☆☆⏱ 3 min

AP考试中一种常见题型是：给出一个未化简的差商极限，要求你识别它代表哪个导数，或是利用导数法则计算极限，而不需要从头计算极限。这类题目考察你是否理解导数定义的结构，而不仅仅是你会不会计算。

解决这类问题的方法是，将给定极限与两种导数定义之一的结构匹配：

$lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} = f^{'} (a)$
$lim_{x \to a} \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = f^{'} (a)$

一旦你正确识别出 $f (x)$ 和 $a$ ，就可以用快捷法则计算导数得到极限的值，不需要手动计算极限。

📐 例题

通过将其识别为导数，计算 $lim_{h \to 0} \frac{( 1 + h ) ^{3} - 1}{h}$ 。

1
将给定极限与形式 $lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ 匹配。 $(1 + h)^{3}$ 对应 $f (a + h)$ ，因此 $a = 1$ ， $f (x) = x^{3}$ 。常数项 $1$ 等于 $f (1) = 1^{3} = 1$ ，匹配正确。
2
因此该极限等于 $f (x) = x^{3}$ 的 $f^{'} (1)$ 。
3
利用微分的幂法则， $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ ，因此代入 $x = 1$ 计算：
$f'(1) = 3(1)^2 = 3$

Exam tip:

一定要检查 $f (a)$ 是否与分子中的常数项匹配；选择题的干扰项常使用错误的常数项，来测试你是否正确匹配了定义的所有部分。

4. 概念检测（AP风格）★★★☆☆⏱ 2 min

✓ 快速检测

测试你对导数记号和定义的理解：

以下哪个选项正确表示了 $f (x) = ln x$ 在 $x = 3$ 处的导数？
- A) $\frac{d}{d x} ln 3$
- B) $\frac{d ( l n 3 )}{d x}$
- C) $\frac{d}{d x} (ln x)_{x = 3}$
- D) $\frac{d y}{d x} (ln 3)$
显示答案
2 —
选项A、B、D都错误地对常数 $ln 3$ 求导，而非先对 $ln x$ 求导再代入 $x = 3$ 求值。只有选项C使用了正确的记号。

5. 常见陷阱

错误做法:

在化简差商之前代入 $h = 0$ ，得到无意义的 $0/0$ 结果。

原因:

学生混淆了极限的运算顺序，认为代入总是第一步。

正确做法:

一定要先通过因式分解、合并分式或有理化化简差商，约去 $h$ ，再代入 $h = 0$ 计算极限。

错误做法:

将 $lim_{x \to 2} \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 2}$ 识别为 $f^{'} (1)$ 。

原因:

学生将分子中的常数对应到点，忽略了分母的结构。

正确做法:

对于导数的替代形式，分母是 $x - a$ ，因此所求点是 $a$ ，和常数出现在分子的哪个位置无关。这个特定的极限不是 $f$ 的有效导数定义。

错误做法:

当题目要求求 $f^{'} (a)$ 时，最终结果仍保留变量 $x$ ；或是当题目要求求一般导函数 $f^{'} (x)$ 时，过早代入 $a$ 。

原因:

学生在同时练习两种导数题型后会混淆它们。

正确做法:

一定要重读题目确认：如果题目要求某点处的导数，最终结果是常数；如果题目要求导函数，最终结果是关于 $x$ 的函数。

错误做法:

仅仅因为 $lim_{x \to 0} f (x)$ 存在，就声称 $f^{'} (0)$ 存在。

原因:

学生将原函数极限的存在性与导数的存在性混淆。

正确做法:

无论原函数的极限是否存在，只有差商的双侧极限存在时，导数才存在。

错误做法:

将 $y = f (x)$ 在 $x = 3$ 处的导数写作 $\frac{d y ( 3 )}{d x}$ 。

原因:

学生错误地将分数记号应用到导数求值中。

正确做法:

一定要在导数表达式后使用求值竖线： $\frac{d y}{d x}_{x = 3}$ 。

6. 速查表

类别	公式 / 记号	说明
$x = a$ 处的导数（h形式）	$f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$	用于手动计算某点处的导数
$x = a$ 处的导数（替代形式）	$f^{'} (a) = lim_{x \to a} \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$	常用于选择题的极限识别题型
作为函数的导数	$f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$	输出是所有可导点 $x$ 对应的导函数
撇号记号（导函数）	$f^{'} (x)$ 或 $y^{'}$	$y = f (x)$ 导数的简写
撇号记号（ $x = a$ 处的导数）	$f^{'} (a)$ 或 $y^{'} (a)$	输出是常数斜率/变化率
莱布尼茨记号（导函数）	$\frac{d y}{d x}$ 或 $\frac{d}{d x} [f (x)]$	$\frac{d}{d x}$ 表示求导运算
莱布尼茨记号（ $x = a$ 处的导数）	$\frac{d y}{d x}_{x = a}$	求值竖线始终放在导数之后

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

本主题是整个微分的基础，微分是AP微积分AB两大核心支柱之一。在掌握极限定义和记号后，你接下来就会学习微分快捷法则，这些法则让你计算导数的速度远快于每次都用极限定义。如果不扎实理解导数的来源和如何解读导数记号，你会很难看懂题目问的是什么，也无法理解后续快捷法则背后的逻辑。本主题也是所有后续导数应用的基础：切线、相关变率、优化、微积分基本定理，所有这些内容都依赖于“导数是衡量瞬时变化率的极限”这一核心思想。