一点处平均变化率与瞬时变化率的定义

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB CED — 微分：定义与基本性质· 14 分钟阅读

1. 区间上的平均变化率★★☆☆☆⏱ 4 min

平均变化率回答这个问题：在两个输入值之间，函数每单位输入 $x$ 平均产生多少变化？对于任意函数 $f (x)$ 和 $x = a$ 到 $x = b$ 之间的区间，平均变化率等于 $f$ 的总输出变化量除以输入 $x$ 的总变化量。也可以表示为从 $x = a$ 出发、长度为 $h$ （ $h \neq = 0$ ）的区间，即区间 $[a, a + h]$ 。

📘 定义

平均变化率与差商

$\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} = \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$

$f$ 在 $[a, b]$ 上的平均变化率等于 $f$ 图像上连接 $(a, f (a))$ 和 $(b, f (b))$ 的割线的斜率。表达式 $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ 称为差商。

例:

若 $f (t)$ 是自行车在时刻 $t$ 的位置，则 $[0, 2]$ 上的平均变化率就是自行车2小时内的平均速度。

📐 例题

已知 $f (x) = x^{2} - 3 x$ ，求区间 $[2, 5]$ 上的平均变化率。

1
1. 确定区间端点： $a = 2$ ， $b = 5$ ，因此 $x$ 的变化量为 $5 - 2 = 3$ 。
2
1. 计算 $f (2)$ ：
3
$f(2) = (2)^2 - 3(2) = 4 - 6 = -2$
4
1. 计算 $f (5)$ ：
5
$f(5) = (5)^2 - 3(5) = 25 - 15 = 10$
6
1. 代入平均变化率公式：
7
$rac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = rac{10 - (-2)}{3} = rac{12}{3} = 4$
8
1. 结论： $f (x)$ 在 $[2, 5]$ 上的平均变化率是 $4$ 。

Exam tip:

在AP考试的FRQ题目中，回答平均变化率时必须明确指明区间；即使数值正确，未标注区间的答案也会失分。

2. 一点处的瞬时变化率（极限定义）★★★☆☆⏱ 5 min

平均变化率描述区间上的变化，但很多问题需要得到单个点处的变化率，即瞬时变化率。为计算它，我们将目标点附近的区间长度不断缩小到趋近于零，对区间长度趋近于零时的平均变化率取极限。若该极限存在，则称函数在 $x = a$ 处可导，该极限就定义为 $f$ 在 $x = a$ 处的导数，记作 $f^{'} (a)$ 。

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \quad \quad f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}

第一种（标准）形式最常用于推导一般的导数法则，而另一种形式通常更便于计算给定点处的导数。直观来看，随着区间缩小，割线会趋近于 $x = a$ 处的切线，因此割线斜率的极限就是切线斜率，也就是瞬时变化率。这是导数的核心定义，所有导数捷径法则都由此推导而来。

📐 例题

使用极限定义，求 $f (x) = x^{2} - 3 x$ 在 $x = 2$ 处的瞬时变化率。

1
1. 写出 $f^{'} (2)$ 的标准定义：
2
$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h}$
3
1. 从上一个例题我们已经得到 $f (2) = - 2$ ，现在计算 $f (2 + h)$ ：
4
$f(2+h) = (2+h)^2 - 3(2+h) = 4 + 4h + h^2 - 6 - 3h = h^2 + h - 2$
5
1. 代入差商并化简：
6
$rac{(h^2 + h - 2) - (-2)}{h} = rac{h^2 + h}{h} = rac{h(h+1)}{h} = h + 1 \quad (h \neq 0)$
7
1. 计算 $h \to 0$ 时的极限：
8
$\lim_{h \to 0} (h + 1) = 1$
9
1. 结论： $f (x)$ 在 $x = 2$ 处的瞬时变化率是 $1$ 。

Exam tip:

取极限前一定要先化简差商、约去 $h$ 。你不能直接代入 $h = 0$ ，因为这会得到未定义的不定式 $\frac{0}{0}$ 。先化简，再计算极限。

3. 变化率的几何意义与情境解释★★☆☆☆⏱ 3 min

除了计算数值，AP考试题目经常要求你从几何角度或实际情境角度解释平均变化率和瞬时变化率。考官考查这一点是为了确认你理解导数的意义，而不仅仅是会计算。

几何意义： $[a, b]$ 上的平均变化率 = 点 $(a, f (a))$ 与 $(b, f (b))$ 之间割线的斜率。 $x = a$ 处的瞬时变化率 = $y = f (x)$ 在 $x = a$ 处切线的斜率，等于 $f^{'} (a)$ 。
情境意义：任何「[因变量]关于[自变量]的变化率」都指导数。变化率的单位始终是 $\frac{因变量单位}{自变量单位}$ 。

📐 例题

函数 $H (t)$ 表示一棵树种植 $t$ 年后的高度，单位为英尺。(a) $H (t)$ 在 $[0, 10]$ 上平均变化率的几何意义和情境意义分别是什么？(b) 在情境中解释 $H^{'} (5) = 2$ ，包括单位。

1
(a) 几何意义： $[0, 10]$ 上的平均变化率是连接点 $(0, H (0))$ （种植时的高度）和 $(10, H (10))$ （10年后的高度）的割线的斜率。
2
(a) 情境意义：这个值是树种植后前10年的平均年生长量。
3
(b) $H^{'} (5)$ 是 $t = 5$ 年时高度关于时间的瞬时变化率。
4
$H^{'} (5) = 2$ 的含义是：种植5年后，这棵树的高度正以每年2英尺的速率增长。

Exam tip:

在AP FRQ的解释题中，你必须包含三个要素才能得满分：输入值、变化的物理量、正确单位。遗漏任何一个要素都会失分。

4. AP风格概念检测★★★☆☆⏱ 2 min

✓ 快速检测

用这道选择题测试你的理解：

下列哪一个表达式是 $g (x) = 2 x + 1$ 在 $x = 4$ 处的瞬时变化率？
- A) $lim_{h \to 0} \frac{9 - 2 ( 4 + h ) + 1}{h}$
- B) $\frac{g ( 4 + h ) - g ( 4 )}{h}$
- C) $lim_{x \to 0} \frac{g ( x ) - g ( 4 )}{x - 4}$
- D) $lim_{h \to 0} \frac{2 ( 4 + h ) + 1 - 3}{h}$
显示答案
D —
$x = a$ 处瞬时变化率的定义是 $lim_{h \to 0} \frac{g ( a + h ) - g ( a )}{h}$ 。当 $a = 4$ 时， $g (4) = 3$ ，因此选项D正确。选项A颠倒了减法顺序，选项B缺少极限，选项C使用了错误的极限值。

📐 例题

已知 $f (x) = 4 x - x^{2}$ 。(a) 求 $[1, 4]$ 上的平均变化率。(b) 使用极限定义求 $f^{'} (1)$ 。(c) 求 $x = 1$ 处切线的斜率并说明依据。

1
(a) 代入平均变化率公式：
2
$rac{f(4) - f(1)}{4 - 1}, \quad f(4) = 0, \quad f(1) = 3$
3
$rac{0 - 3}{3} = -1$
4
$[1, 4]$ 上的平均变化率是 $- 1$ 。
5
(b) 写出极限定义：
6
$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$
7
展开并化简：
8
$f(1+h) = 4(1+h) - (1+h)^2 = 3 + 2h - h^2$
9
$rac{(3 + 2h - h^2) - 3}{h} = 2 - h \quad (h \neq 0)$
10
计算极限：
11
$\lim_{h \to 0} (2 - h) = 2$
12
(c) $x = a$ 处切线的斜率等于 $f^{'} (a)$ ，因此斜率是 $2$ 。

5. 常见陷阱

错误做法:

颠倒减法顺序，计算 $\frac{f ( a ) - f ( a + h )}{h}$ 而不是正确的 $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$

原因:

学生混淆了「变化量 = 末值减初值」的定义，导致最终答案符号错误。

正确做法:

始终记住变化量是（较大输入对应的输出）减（较小输入对应的输出），因此减法顺序永远是末值减初值。

错误做法:

展开差商的分子前就约去 $h$ ，导致结果错误地得到0

原因:

学生仓促解题，在化简前就对分子每一项约去 $h$ ，错误地对常数项也约去了 $h$ 。

正确做法:

一定要先完全展开 $f (a + h)$ ，减去 $f (a)$ ，化简整个分子，然后提取公因子并约去 $h$ 。

错误做法:

因为代入 $h = 0$ 差商得到 $\frac{0}{0}$ ，就断言瞬时变化率不存在

原因:

学生忘记 $h \to 0$ 的极限不需要 $h = 0$ ，且 $\frac{0}{0}$ 是不定式，不是最终结果。

正确做法:

如果代入 $h = 0$ 得到 $\frac{0}{0}$ ，一定要先代数化简差商，再计算极限。

错误做法:

将 $f^{'} (a)$ 解释为区间上的平均变化率，或将差商解释为瞬时变化率

原因:

学生混淆了区间性质和点性质的术语。

正确做法:

始终检查题目问的是区间上的变化率（平均，不需要极限）还是单点处的变化率（瞬时，导数，需要极限）。

错误做法:

忘记写单位，或对情境中的变化率使用错误单位（例如写「英尺」而非「英尺每年」）

原因:

学生专注于计算数值，忘记情境题需要单位才能得满分。

正确做法:

每当你在情境题中计算变化率，在继续做题前先自动写上「输出单位每输入单位」的单位。

6. 速查表

类别	公式	说明
平均变化率（区间 $[a, b]$ ）	$\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$	等于割线斜率；不需要极限
差商	$\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$	$[a, a + h]$ 上的平均变化率；取极限前先化简
导数（标准形式）	$f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$	仅当双侧极限存在时存在
导数（另一种形式）	$f^{'} (a) = lim_{x \to a} \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$	更便于计算给定点处的导数
几何意义：平均变化率	割线斜率	适用于两点之间的区间
几何意义：瞬时变化率	$x = a$ 处切线的斜率	等于该点处的导数 $f^{'} (a)$
变化率的单位	$\frac{单位 of f ( x )}{单位 of x}$	AP FRQ中得满分始终需要正确单位

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
选出正确的导数定义
2022 · FRQ
在实际情境中解释变化率

下一步

本专题是整个微分的概念基础，微分内容约占AP微积分AB课程的一半。下一步我们将用这里介绍的极限定义推导基本导数法则，之后你就可以用这些法则快速计算导数，无需每次都计算极限。如果不扎实理解导数定义为平均变化率的极限，你将无法在FRQ题目中对导数结果进行说明，也无法识别什么时候一点处导数不存在。本专题也是后续核心专题的基础，例如相关变化率、优化问题和直线运动。