常数法则、和法则、差法则与常数倍法则

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB CED — 求导：定义与基本性质· 14 分钟阅读

1. 常数法则★☆☆☆☆⏱ 3 min

常数法则是最简单的求导法则，适用于对所有输入输出值相同、不依赖于 $x$ 的常数函数。它可以直接由导数的极限定义推导得出，符合水平线处处斜率为0的直观结论。

📘 定义

常数法则

\frac{d}{dx}[c] = 0

对于任意实常数 $c$ ，常数函数 $f (x) = c$ 的导数始终等于零。

例:

$\frac{d}{d x} [12] = 0$ , $\frac{d}{d x} [e] = 0$

🔬 推导

目标:

从导数的极限定义推导常数法则

起点:

导数定义： $f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$ , 其中 $f (x) = c$

1
将 $f (x + h) = c$ 和 $f (x) = c$ 代入定义：
$\lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h}$
2
化简分子：
$\lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = \lim_{h \to 0} 0$
3
计算常数的极限：
$f'(x) = 0$

结果:

任何常数的导数都是零，验证了常数法则的正确性。

📐 例题

求 $g (x) = - \frac{9 π}{4}$ 关于 $x$ 的导数。

1
确认 $- \frac{9 π}{4}$ 是常数：它不依赖于输入变量 $x$ ，符合常数函数的定义。
2
回顾常数法则公式：
3
$\frac{d}{dx}[c] = 0 \text{ for any real constant } c$
4
将 $c = - \frac{9 π}{4}$ 代入法则。
5
最终结果：
6
$\frac{d}{dx}\left[-\frac{9\pi}{4}\right] = 0$

Exam tip:

在AP考试中， $π$ 、 $e$ 以及题目中标记为 $k$ 的任意常数仍然是常数 —— 一定要对它们应用常数法则，不要误认成变量。

2. 常数倍法则★★☆☆☆⏱ 3 min

常数倍法则将求导扩展到由常数系数乘以非常数函数构成的项。它允许我们把常数系数提出导数外，这是多项式逐项求导的必要步骤。

📘 定义

常数倍法则

\frac{d}{dx}[c \cdot f(x)] = c \cdot f'(x)

若 $c$ 是常数， $f (x)$ 可导，则 $c$ 乘以 $f (x)$ 的导数等于 $c$ 乘以 $f (x)$ 的导数。

🔬 推导

目标:

从极限性质推导常数倍法则

起点:

极限的常数倍性质和导数定义

1
从 $c f (x)$ 的导数定义开始：
2
$\frac{d}{dx}\left[c f(x)\right] = \lim_{h \to 0} \frac{c f(x+h) - c f(x)}{h}$
3
将常数 $c$ 从极限中提出：
4
$c \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
5
识别出该极限就是 $f (x)$ 的导数 $f^{'} (x)$ ：

结果:

因此， $\frac{d}{d x} [c f (x)] = c f^{'} (x)$ ，法则得证。

📐 例题

已知 $\frac{d}{d x} [x^{3}] = 3 x^{2}$ ，用常数倍法则求 $y = - 5 x^{3}$ 的导数。

1
将 $y$ 改写为符合常数倍法则的形式： $y = - 5 \cdot f (x)$ ，其中 $c = - 5$ ， $f (x) = x^{3}$ 。
2
应用常数倍法则：
3
$\frac{dy}{dx} = c \cdot f'(x) = -5 \cdot \frac{d}{dx}[x^3]$
4
代入已知导数 $\frac{d}{d x} [x^{3}] = 3 x^{2}$ 。
5
化简得到最终结果：
6
$\frac{dy}{dx} = -5(3x^2) = -15x^2$

Exam tip:

永远不要忘记负常数仍然是常数 —— 提出常数时保留负号，化简过程中不要不小心丢掉它。

3. 和法则与差法则★★☆☆☆⏱ 3 min

和法则与差法则允许我们对函数的线性组合逐项求导，这是对任意多项式求导的必要基础。这些法则可以直接由「和的极限等于极限的和」这一极限性质得到。差法则也可以通过结合和法则与 $c = - 1$ 时的常数倍法则推导得到。

📘 定义

和法则与差法则

\frac{d}{dx}\left[f(x) + g(x)\right] = f'(x) + g'(x) \\ \frac{d}{dx}\left[f(x) - g(x)\right] = f'(x) - g'(x)

若 $f (x)$ 和 $g (x)$ 在 $x$ 处都可导，则函数和或差的导数等于各函数导数的和或差。该结论可推广到任意有限个项的情况。

📐 例题

已知 $\frac{d}{d x} [x^{n}] = n x^{n - 1}$ ，求 $f (x) = 5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 9$ 关于 $x$ 的导数。

1
利用和差法则将函数拆分为单个项：
2
$\frac{d}{dx}[5x^4 - 3x^2 + 2x - 9] = \frac{d}{dx}[5x^4] - \frac{d}{dx}[3x^2] + \frac{d}{dx}[2x] - \frac{d}{dx}[9]$
3
对每个变量项应用常数倍法则，对最后一项应用常数法则：
4
$= 5 \cdot \frac{d}{dx}[x^4] - 3 \cdot \frac{d}{dx}[x^2] + 2 \cdot \frac{d}{dx}[x] - 0$
5
代入每个 $x$ 幂次的幂法则导数结果：
6
$= 5(4x^3) - 3(2x) + 2(1) - 0$
7
化简得到最终导数：
8
$f'(x) = 20x^3 - 6x + 2$

Exam tip:

一定要检查你是否对函数中的每一项都求导了，包括最后的常数项 —— 很容易忘记它，不小心把它保留到最终导数中。

4. AP风格综合应用★★★☆☆⏱ 5 min

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

若 $f (x) = \frac{1}{3} x^{6} - 9 x + 5 e$ ，则 $f^{'} (x)$ 是多少？
- A) $2 x^{5} - 9 + 5 e$
- B) $2 x^{5} - 9$
- C) $2 x^{6} - 9 + 5$
- D) $2 x^{5} - 9 e$
显示答案
B —
干扰项A没有对常数 $5 e$ 求导，C错误地对常数求导，D错误地将 $e$ 当成变量。根据常数法则， $\frac{d}{d x} [5 e] = 0$ ，因此正确导数是 $2 x^{5} - 9$ 。

📐 例题

设 $f (x) = 8 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x - 10$ 。(a) 用核心法则求 $f^{'} (x)$ （你可以使用幂法则）。(b) 求 $x = 2$ 处切线的斜率。(c) 写出 $x = 2$ 处切线的方程。

1
(a)问：拆分各项并应用法则：
2
$f'(x) = \frac{d}{dx}[8x^3] - \frac{d}{dx}[12x^2] + \frac{d}{dx}[4x] - \frac{d}{dx}[10]$
3
$f'(x) = 8(3x^2) - 12(2x) + 4(1) - 0 = 24x^2 - 24x + 4$
4
(b)问：斜率等于 $f^{'} (2)$ 。代入 $x = 2$ ：
5
$f'(2) = 24(2)^2 - 24(2) + 4 = 52$
6
(c)问：求点 $(2, f (2))$ ：
7
$f(2) = 8(8) - 12(4) + 4(2) - 10 = 14, \text{ so point } (2, 14)$
8
使用点斜式并化简：
9
$y - 14 = 52(x - 2) \implies y = 52x - 90$

📐 例题

销售 $x$ 辆定制自行车的月利润为 $P (x) = - 150 x^{2} + 6000 x - 350$ ，其中 $P (x)$ 单位为美元。边际利润（即 $P (x)$ 的导数）近似表示多销售一辆自行车带来的利润变化。求卖出15辆自行车时的边际利润，包含单位。

1
用求导法则求边际利润函数 $M P (x) = P^{'} (x)$ ：
2
$MP(x) = \frac{d}{dx}[-150x^2] + \frac{d}{dx}[6000x] - \frac{d}{dx}[350] = -300x + 6000$
3
代入 $x = 15$ ：
4
$MP(15) = -300(15) + 6000 = 1500$
5
结合语境解释：当卖出15辆自行车后，再多卖出一辆自行车，利润大约增加$1500。

5. 常见陷阱

错误做法:

将 $y = 7$ 求导得到 $y^{'} = 7$

原因:

学生将常数值本身和它的导数混淆，忘记常数法则的结果总是零。

正确做法:

把所有不含输入变量的项标记为常数，在继续下一步前直接写出它的导数为0。

错误做法:

将 $y = - 4 x^{2}$ 求导得到 $y^{'} = - 8 x^{2}$

原因:

学生只对变量部分求导，保留了 $x$ 原来的幂次，忘记将常数系数乘以变量部分的导数。

正确做法:

求出变量部分的导数后，一定要乘以完整的常数系数，包括符号。

错误做法:

将 $f (x) = π x$ 求导得到 $f^{'} (x) = x + π$

原因:

学生混淆常数 $π$ 和变量，不必要地使用了乘积法则。

正确做法:

所有希腊字母和任意标记常数（ $k, a, b$ ）都是常数，应用常数倍法则将它们提出即可。

错误做法:

写出 $\frac{d}{d x} [3 x + 4] = 3 + 4 = 7$

原因:

学生忘记对常数项应用常数法则，错误地将常数保留到导数中。

正确做法:

把常数项的导数替换为0后划去原常数项，避免不小心保留。

错误做法:

将 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 4$ 求导得到 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1 - 4 = 3 x^{2} - 4 x - 3$

原因:

学生没有将最后的常数替换为零，把它留在了最终导数中。

正确做法:

数一数原函数的项数，对于带常数项的多项式，确认导数中的非零项比原函数少一项。

6. 速查表

法则名称	公式	要点
常数法则	$\frac{d}{d x} [c] = 0$	$c$ 是任意不依赖 $x$ 的实常数（ $π, e, k$ 包含在内）
常数倍法则	$\frac{d}{d x} [c \cdot f (x)] = c \cdot f^{'} (x)$	适用于任意常数 $c$ （正/负）和任意可导 $f (x)$
和法则	$\frac{d}{d x} [f (x) + g (x)] = f^{'} (x) + g^{'} (x)$	可推广到任意有限个项：和的导数 = 导数的和
差法则	$\frac{d}{d x} [f (x) - g (x)] = f^{'} (x) - g^{'} (x)$	等价于对 $g (x)$ 应用 $c = - 1$ 后的和法则
组合线性求导	$\frac{d}{d x} [c_{1} f (x) + c_{2} g (x)] = c_{1} f^{'} (x) + c_{2} g^{'} (x)$	两个可导函数任意线性组合的一般形式
负常数倍	$\frac{d}{d x} [- k f (x)] = - k f^{'} (x)$	应用法则时永远将负号保留在常数上

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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这四条法则确立了求导的线性性，这是你在整个AP微积分AB后续所有求导运算的基础性质。从乘积法则到链式法则，所有高级法则都依赖于这个线性性，这里的常见错误会导致几乎所有后续求导题出错。掌握本主题对理解课程后续积分的线性性也至关重要，积分的线性性直接继承自求导的这个性质。