可微性与连续性的关系 — AP 微积分 AB
AP 微积分 AB · 微分：定义与基本性质 · 14 min read
1. 核心定理：可微性蕴含连续性 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
本主题最重要的结论就是形式化了两个性质之间关系的定理：*若函数 $f$ 在$x=a$处可微，则 $f$ 一定在$x=a$处连续*。我们可以直接从两个概念的定义出发证明这个定理。
Exam tip: 如果AP自由问答题要求你求使分段函数可微的常数，一定要先求解连续性条件——AP阅卷官会给这一步分值，即使你没做完整道题，这一步也能帮你在MCQ中排除错误选项。
2. 逆命题不成立：连续不蕴含可微 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
核心定理仅保证可微性蕴含连续性，反过来不成立。一个函数完全可以在某点连续但在该点不可微。这是AP考试中本主题最常考的概念，因为它能考察学生是否理解两个性质的区别。
- **拐角（或折角）**: 函数连续，但左右两侧的单侧导数是不同的有限值。不存在唯一的定义明确的斜率。
- **尖点**: 函数连续，但单侧导数趋近于相反符号的无穷大，因此斜率无定义。
- **垂直切线**: 函数连续，但切线是垂直的，因此斜率为无穷大（无定义），导数不存在。
Exam tip: 当你在FRQ中被要求证明不可微时，你必须明确比较单侧导数，或者解释为什么差商极限无定义——没有证明的结论不得分。
3. 从图像中识别不可微点 ★★☆☆☆ ⏱ 2 min
本主题最常见的MCQ题型之一就是要求你从函数图像中数出或识别不可微点。你不需要代数运算，按顺序寻找四个关键特征即可：
- **间断点**: 根据核心定理的逆否命题，任何跳跃间断、可去间断（空洞）、无穷间断或不匹配点自动都是不可微点。总是先数这些点。
- **拐角/折角**: 连续图像上的急转弯，左右两侧斜率明显不同。
- **尖点**: 图像从两侧向内弯曲交汇于一点的尖锐点，两侧斜率为相反符号的无穷大。
- **垂直切线**: 图像在该点变为垂直，因此即使函数连续，斜率也是无穷大（无定义）。
Exam tip: 如果题目问有多少个点，一定要再检查一遍有没有漏数间断点——大多数学生在这里失分都是因为只数了尖锐拐角，忘记了跳跃间断和空洞（可去间断）。
4. AP风格例题练习 ★★★★☆ ⏱ 5 min
Common Pitfalls
Why: 学生记住了核心定理，但忘记它只单向成立，AP考试专门考察这个常见误区。
Why: 如果函数不连续，即使斜率匹配导数也不存在，会得到错误的常数值。
Why: 垂直切线总是出现在连续点上，学生把无定义斜率和间断混淆了。
Why: 学生假设 that $\
Why: $\lim_{x \to a} f'(x) = f'(a)$，但这仅当 $f'$ 在 $a$ 处连续时成立，而这一点不能保证。
Why: 学生把 $f$ 的极限和 $f$ 的函数值混淆，因此错误地假设满足连续性条件。
Quick Reference Cheatsheet