可微性与连续性的关系

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB CED — 微分：定义与基本性质· 14 分钟阅读

1. 核心定理：可微性蕴含连续性★★☆☆☆⏱ 3 min

本主题最重要的结论就是形式化了两个性质之间关系的定理：若函数 $f$ 在 $x = a$ 处可微，则 $f$ 一定在 $x = a$ 处连续。我们可以直接从两个概念的定义出发证明这个定理。

🔬 推导

目标:

证明可微性蕴含连续性

起点:

若 $f$ 在 $x = a$ 处可微， $f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ 作为有限极限存在。我们需要证明 $l i m_{h \to 0} f (a + h) = f (a)$ .

1
从差 $f (a + h) - f (a)$ 的极限开始：
2
$\lim_{h \to 0} \left[f(a+h) - f(a)\right] = \lim_{h \to 0} \left(h \cdot \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\right)$
3
利用极限的乘积法则拆分表达式：
4
$= \lim_{h \to 0} h \cdot \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = 0 \cdot f'(a) = 0$
5
这意味着 $l i m_{h \to 0} [f (a + h) - f (a)] = 0$ ，整理可得 $
6
$lim_{h \to 0} f (a + h) = f (a)$ ，这就是连续性的定义。

结果:

因此， $x = a$ 处的可微性蕴含 $x = a$ 处的连续性。该定理的逆否命题也同样有用：若 $f$ 在 $x = a$ 处不连续，则 $f$ 不可能在 $x = a$ 处可微。

📐 例题

函数 $f (x)$ 定义为 $f (x) = {x^{2} + 3 x 7 x + k x \leq 2 x > 2$ 。求使 $f$ 在 $x = 2$ 处可微的 $k$ 的值。

1
根据核心定理， $x = 2$ 处可微要求 $x = 2$ 处连续，因此我们首先代入连续性条件。
2
计算 $x = 2$ 处的左极限和函数值：
3
$f(2) = (2)^2 + 3(2) = 10 \implies \lim_{x \to 2^-} f(x) = 10$
4
计算右极限：
5
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = 7(2) + k = 14 + k$
6
为满足连续性令两侧极限相等：
7
$14 + k = 10 \implies k = -4$
8
验证单侧导数相等（这是完全可微的必要条件）：左导数 $f_{-}^{'} (2) = 2 (2) + 3 = 7$ ，右导数 $f_{+}^{'} (2) = 7$ ，因此导数相等。结论： $k = - 4$ 使 $f$ 在 $x = 2$ 处可微。

Exam tip:

如果AP自由问答题要求你求使分段函数可微的常数，一定要先求解连续性条件——AP阅卷官会给这一步分值，即使你没做完整道题，这一步也能帮你在MCQ中排除错误选项。

2. 逆命题不成立：连续不蕴含可微★★★☆☆⏱ 4 min

核心定理仅保证可微性蕴含连续性，反过来不成立。一个函数完全可以在某点连续但在该点不可微。这是AP考试中本主题最常考的概念，因为它能考察学生是否理解两个性质的区别。

拐角（或折角）: 函数连续，但左右两侧的单侧导数是不同的有限值。不存在唯一的定义明确的斜率。
尖点: 函数连续，但单侧导数趋近于相反符号的无穷大，因此斜率无定义。
垂直切线: 函数连续，但切线是垂直的，因此斜率为无穷大（无定义），导数不存在。

📐 例题

$g (x) = ∣ x^{2} - 9∣$ 在 $x = 3$ 处是否既连续又可微？证明你的结论。

1
首先因式分解重写 $g (x)$ ： $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ ，因此 $g (x)$ 可以写成分段形式：
2
$g(x) = \begin{cases} x^2 - 9 & x \geq 3 \\ 9 - x^2 & x < 3 \end{cases}$
3
检查连续性： $lim_{x \to 3^{-}} g (x) = 9 - 9 = 0$ ， $lim_{x \to 3^{+}} g (x) = 9 - 9 = 0$ ，且 $g (3) = 0$ ，因此 $g$ 在 $x = 3$ 处连续。
4
计算左导数：
5
$g'_-(3) = \lim_{h \to 0^-} \frac{g(3+h) - g(3)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{9 - (9 + 6h + h^2)}{h} = -6$
6
计算右导数：
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$g'_+(3) = \lim_{h \to 0^+} \frac{(9 + 6h + h^2) - 9}{h} = 6$
8
由于 $g_{-}^{'} (3) = - 6 \neq = 6 = g_{+}^{'} (3)$ ，双侧导数 $g^{'} (3)$ 不存在。结论： $g$ 在 $x = 3$ 处连续，但在 $x = 3$ 处不可微。

Exam tip:

当你在FRQ中被要求证明不可微时，你必须明确比较单侧导数，或者解释为什么差商极限无定义——没有证明的结论不得分。

3. 从图像中识别不可微点★★☆☆☆⏱ 2 min

本主题最常见的MCQ题型之一就是要求你从函数图像中数出或识别不可微点。你不需要代数运算，按顺序寻找四个关键特征即可：

间断点: 根据核心定理的逆否命题，任何跳跃间断、可去间断（空洞）、无穷间断或不匹配点自动都是不可微点。总是先数这些点。
拐角/折角: 连续图像上的急转弯，左右两侧斜率明显不同。
尖点: 图像从两侧向内弯曲交汇于一点的尖锐点，两侧斜率为相反符号的无穷大。
垂直切线: 图像在该点变为垂直，因此即使函数连续，斜率也是无穷大（无定义）。

📐 例题

$h (x)$ 在区间 $(- 3, 5)$ 上的图像在 $x = - 2$ 处有跳跃间断， $x = 1$ 处有尖锐拐角， $x = 4$ 处有垂直切线，其余位置都是光滑的。在区间 $(- 3, 5)$ 上有多少个不可微点，为什么？

1
首先，数间断点： $x = - 2$ 不连续，因此不可微。
2
接下来，检查连续点的不可微性： $x = 1$ 连续，但存在尖锐拐角，单侧斜率不相等，因此不可微。
3
$x = 4$ 连续，但存在垂直切线，斜率无定义，因此不可微。
4
其余所有点都是光滑连续的，因此可微。不可微点总共有 3 个，分别在 $x = - 2$ 、 $x = 1$ 和 $x = 4$ 处。

Exam tip:

如果题目问有多少个点，一定要再检查一遍有没有漏数间断点——大多数学生在这里失分都是因为只数了尖锐拐角，忘记了跳跃间断和空洞（可去间断）。

4. AP风格例题练习★★★★☆⏱ 5 min

📐 例题

设 $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} - 3 x}{x - 3} 3 x \neq = 3 x = 3$ 。以下哪个陈述是正确的？
A) $f$ 在 $x = 3$ 处不连续，因此在 $x = 3$ 处不可微。
B) $f$ 在 $x = 3$ 处连续，但在 $x = 3$ 处不可微。
C) $f$ 在 $x = 3$ 处连续，且在 $x = 3$ 处可微，且 $f^{'} (3) = 1$ 。
D) $f$ 在 $x = 3$ 处连续，且在 $x = 3$ 处可微，且 $f^{'} (3) = 3$ 。

1
首先，检查 $x = 3$ 处的连续性。当 $x \neq = 3$ 时，分子因式分解得： $\frac{x ( x - 3 )}{x - 3} = x$ ，因此 $l i m_{x \to 3} f (x) = 3$ ，等于 $f (3) = 3$ 。这说明 $f$ 在 $x = 3$ 处连续，排除选项A。
2
在 $x = 3$ 附近的所有点， $f (x) = x$ ，这是一个一次函数，导数恒为 $f^{'} (x) = 1$ 。 $x = 3$ 处没有拐角、间断或垂直切线，因此 $f$ 在 $x = 3$ 处可微，导数为 1，排除选项B和D。正确答案是C。

📐 例题

设 $f (x) = {m x + b - x^{2} + 8 x - 7 x < 2 x \geq 2$ 。
(a) 求使 $f$ 在 $x = 2$ 处可微的 $m$ 和 $b$ 的值，证明你的结论。
(b) $f$ 在 $x = 0$ 处可微吗？证明你的结论。
(c) 对于全体实数 $x$ ， $f$ 有多少个不可微点？解释原因。

1
第一问(a)：要使 $f$ 在 $x = 2$ 处可微，首先必须在 $x = 2$ 处连续。计算得 $f (2) = - (2)^{2} + 8 (2) - 7 = 5$ 。左极限是 $
2
$lim_{x \to 2^{-}} (m x + b) = 2 m + b$ ，因此得到第一个方程： $2 m + b = 5$ 。
3
对于可微性，单侧导数必须相等：右导数 $f_{+}^{'} (2) = - 2 (2) + 8 = 4$ ，左导数 $f_{-}^{'} (2) = m$ ，因此 $m = 4$ 。代回得： $2 (4) + b = 5 ⟹ b = - 3$ 。这组值满足两个条件。
4
第二问(b)： $x = 0$ 是 $(- \infty, 2)$ 的内点，在该区间 $f (x) = 4 x - 3$ ，是一次多项式，在全体实数上都可微。因此， $f$ 在 $x = 0$ 处可微。
5
第三问(c)：唯一可能的不可微点是分段边界 $x = 2$ 。当取 $m = 4$ 和 $b = - 3$ 时， $f$ 在 $x = 2$ 处可微，其余所有点都在一次或二次函数的定义域内，这两类函数处处可微。因此， $f$ 有 0 个不可微点。

📐 例题

一个沿直线轨道运动的机器人的位置由 $s (t) = ∣ t^{2} - 6 t + 8∣$ 给出， $0 \leq t \leq 5$ ，其中 $s (t)$ 是距离起点的距离（单位：米）， $t$ 是时间（单位：秒）。在区间 $(0, 5)$ 内，机器人的瞬时速度在哪些时间 $t$ 无定义？证明你的结论，并解释结果。

1
首先，对绝对值内的二次式因式分解： $t^{2} - 6 t + 8 = (t - 2) (t - 4)$ ，因此表达式在 $t = 2$ 和 $t = 4$ 处变号，这两个点都在 $(0, 5)$ 区间内。
2
$s (t)$ 在两个点处都连续： $
3
$lim_{t \to 2} s (t) = 0 = s (2)$ 且 $
4
$lim_{t \to 4} s (t) = 0 = s (4)$ 。
5
检查单侧导数：在 $t = 2$ 处， $s_{-}^{'} (2) = - 2$ 且 $s_{+}^{'} (2) = 2$ ，因此导数不相等。在 $t = 4$ 处， $s_{-}^{'} (4) = - 2$ 且 $s_{+}^{'} (4) = 2$ ，因此这里导数也不相等。
6
瞬时速度是位置的导数，因此速度在 $t = 2$ 秒和 $t = 4$ 秒处无定义。结合实际背景，这意味着机器人在这些时间点突然反向，在朝向和远离起点传感器的运动之间没有平滑过渡。

5. 常见陷阱

错误做法:

假设 $x = a$ 处的连续性一定保证 $x = a$ 处的可微性，检查完连续性就停止。

原因:

学生记住了核心定理，但忘记它只单向成立，AP考试专门考察这个常见误区。

正确做法:

得出连续的结论后，一定要在得出可微性结论前检查单侧导数或斜率。

错误做法:

对于有两个未知常数的分段函数，先匹配单侧导数，再满足连续性条件。

原因:

如果函数不连续，即使斜率匹配导数也不存在，会得到错误的常数值。

正确做法:

总是先求解得到连续性的常数，再求解匹配导数的第二个常数。

错误做法:

把垂直切点误认为间断点，用错误的理由证明不可微性。

原因:

垂直切线总是出现在连续点上，学生把无定义斜率和间断混淆了。

正确做法:

对于 $x = a$ 处的垂直切线，需要说明 $f$ 在 $a$ 处连续，但导数趋近于 $\pm \infty$ ，因此导数不存在。

错误做法:

对于分段函数，用 $lim_{x \to a} f^{'} (x)$ 代替差商求单侧导数。

原因:

学生假设 that $\

正确做法:

错误做法:

原因:

$lim_{x \to a} f^{'} (x) = f^{'} (a)$ ，但这仅当 $f^{'}$ 在 $a$ 处连续时成立，而这一点不能保证。

正确做法:

在检查分段边界处的可微性时，总是使用单侧导数的差商定义，这样才能拿到完整的证明分数。

错误做法:

因为 $f (x)$ 在空洞（可去间断点）处的极限存在，就把它算作可微点。

原因:

学生把 $f$ 的极限和 $f$ 的函数值混淆，因此错误地假设满足连续性条件。

正确做法:

总是先确认 that $\

错误做法:

原因:

正确做法:

$lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ 满足连续性；如果这个条件不满足，该点就是不连续且不可微的。

6. 速查表

类别	法则/结论	备注
核心定理	若 $f$ 在 $x = a$ 处可微，则 $f$ 在 $x = a$ 处连续	仅单向成立；考试中千万不要反过来推导。
核心定理的逆否命题	若 $f$ 在 $x = a$ 处不连续，则 $f$ 在 $x = a$ 处不可微	用于快速排除不连续点的可微性。
核心结论	连续不蕴含可微	这是AP考试最常考的误区。
可微性检验	$f^{'} (a)$ 存在当且仅当 $f_{-}^{'} (a) = f_{+}^{'} (a)$ （均为有限值）	分段函数在边界点总是使用这个方法检验。
不可微点的类型	间断点，2. 拐角/折角，3. 尖点，4. 垂直切线	只有间断点是不连续的；另外三种都出现在连续点上。
标准函数的可微性	所有多项式、指数函数、对数函数和三角函数在定义域内所有点都可微	这些函数定义域内的任意内点自动可微。
分段函数求常数问题的步骤	在分界点满足连续性条件，2. 匹配单侧导数	按这个顺序做，不要反过来，避免出错。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · MCQ
识别不可微点
2023 · FRQ
求使分段函数可微的常数

下一步

理解可微性与连续性的关系是AP微积分AB所有后续微分主题的基础前提。所有幂函数、指数函数、三角函数、乘积和商的基本微分法则，都假设你处理的函数在所研究的点处可微，因此未能识别不可微点会导致错误的导数计算。掌握这个概念也能帮助你学习后续主题，例如绘制导数图像，以及在极值问题中识别临界点。