# 夹逼准则

> AP 微积分 AB · 极限与连续性（第1单元）
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u1-squeeze-theorem/

本讲解涵盖AP微积分AB中夹逼准则的正式表述、核心条件和应用，包括基本三角极限的证明、有限点和无穷远处极限的计算，以及应试解题方法。

**先修:** 基本极限符号和极限的定义; 实数的不等式性质; [通过代入和因式分解计算极限](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u1-evaluating-limits-analytically/)

## 学习目标

- 陈述夹逼准则的正式定义
- 应用夹逼准则计算有界振荡函数的极限
- 使用夹逼准则证明基本三角极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
- 将夹逼准则应用于无穷远处的极限
- 避免在构造夹逼准则不等式时犯常见错误

## 定义和核心条件

夹逼准则（也称为三明治定理或迫敛定理，你可能在AP考试中看到这些名称）是计算无法通过因式分解或代入化简的极限的核心工具，最常用于有界振荡函数。根据AP课程描述（CED），它占你总考试分数的~2-3%，主要出现在选择题中，但偶尔也会作为FRQ中的证明步骤出现。

**夹逼准则** — 若对于 $a$ 附近的所有 $x$ 满足 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$（$x=a$ 处不需要满足），且 $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$，则 $\lim_{x \to a} f(x) = L$。该定理适用于所有极限类型：双侧极限、单侧极限和无穷远处极限。

有效应用夹逼准则必须满足三个核心条件：(1) 不等式在极限点附近的所有 $x$ 处成立（极限点本身除外，这对极限无关紧要），(2) 两个边界函数的极限都存在且相等，(3) 对于无穷远处的极限，不等式只需要对所有足够大（或足够小）的 $x$ 成立。初学者最常见的挑战是找到有效的界，这几乎总是从正弦和余弦的已知界开始。

**例题:** 验证夹逼准则的所有条件均满足，以计算 $\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)$

1. 从正弦函数的通用界开始，该界对所有 $x \neq 0$ 都成立：
2. $$-1 \leq \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1$$
3. 将不等式各部分乘以 $x^2$，$x^2$ 对所有实数 $x$ 都是非负的，因此不等号方向不变。这就得到了我们目标函数所需的界：
4. $$-x^2 \leq x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2$$
5. 这满足第一个条件，因为它对 $0$ 附近所有 $x \neq 0$ 都成立。
6. 计算边界函数的极限：
7. $$\lim_{x \to 0} (-x^2) = 0 \quad \text{and} \quad \lim_{x \to 0} x^2 = 0$$
8. 两个极限都存在且相等，满足第二个条件。所有条件都满足，因此根据夹逼准则：
9. $$\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0$$

> **考试提示:** 当给不等式乘以一个函数时，一定要确认该函数非负，避免翻转不等号方向。如果函数可能变号，使用绝对值构造界。

## 证明基本三角极限

夹逼准则在AP考试中最重要的应用之一就是证明基本三角极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，这个结果是本课程后续推导所有三角函数导数法则的基础。该证明使用单位圆的面积几何论证，$x$ 以弧度为单位，范围是 $0 < x < \frac{\pi}{2}$，然后通过对称性扩展到负 $x$。

- 角度为 $x$ 的内接三角形面积：$\frac{1}{2} \sin x$
- 角度为 $x$ 的扇形面积：$\frac{1}{2} x$
- 外切切线三角形面积：$\frac{1}{2} \tan x$

$$\frac{1}{2} \sin x < \frac{1}{2} x < \frac{1}{2} \tan x$$

给不等式各边乘以 $\frac{2}{\sin x}$（对于 $0 < x < \frac{\pi}{2}$，该项为正，因此不会翻转不等号）：

$$1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$$

对所有正项取倒数，这会翻转不等号方向：

$$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$$

**例题:** 使用夹逼准则从上述不等式证明 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

1. 不等式 $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ 对 $0$ 附近除 $x=0$ 外的所有 $x$ 都成立，满足夹逼准则的第一个条件。对称性确认它对 $0$ 附近正负 $x$ 都成立。
2. 计算下界的极限：由余弦函数在 $0$ 处的连续性可得：
3. $$\lim_{x \to 0} \cos x = \cos 0 = 1$$
4. 上界是常数函数，因此它的极限也是 $1$：
5. $$\lim_{x \to 0} 1 = 1$$
6. 两个边界都趋近于相同的极限 $1$，因此根据夹逼准则，得到结果：
7. $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

> **考试提示:** 该结果仅适用于正弦的自变量和分母都趋近于 $0$ 的情况。不要将其用于趋近于非零值的极限，这类极限可以用直接代入法求解。

## 应用：有限点处的极限

夹逼准则通常用于计算乘以一个在有限点处趋近于 $0$ 的项的有界振荡函数的极限。正弦和余弦总是有界在 $-1$ 到 $1$ 之间，因此乘以一个趋近于 $0$ 的项后，整个乘积会被夹在两个都趋近于 $0$ 的函数之间。

**概念自测**

测试你对有限极限构造的理解：

1. $\lim_{x \to 0} x^4 \cos\left(\frac{e^x}{x^2}\right)$ 的结果是？

   - A) 0
   - B) 1
   - C) -1
   - D) 极限不存在

   *解析:* 正确！我们使用界 $-1 \leq \cos(\cdot) \leq 1$，乘以非负的 $x^4$ 得到 $-x^4 \leq x^4 \cos(\cdot) \leq x^4$，两个界都趋近于 $0$，因此极限是 $0$。

**例题:** 设 $f(x) = \frac{3x \sin^2 x}{1 + x^2}$ 对所有 $x \neq 0$ 成立。(a) 使用夹逼准则求 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 并证明你的答案。(c) 取什么值的 $f(0)$ 能使 $f$ 在 $x=0$ 处连续？

1. 从平方正弦的已知界开始：对所有 $x$，$0 \leq \sin^2 x \leq 1$。为了避免符号问题，我们使用绝对值构造界：
2. $$0 \leq \left| \frac{3x \sin^2 x}{1+x^2} \right| \leq \frac{3|x|}{1+x^2}$$
3. 展开绝对值不等式得到最终界：
4. $$-\frac{3|x|}{1+x^2} \leq f(x) \leq \frac{3|x|}{1+x^2}$$
5. 计算边界的极限：
6. $$\lim_{x \to 0} -\frac{3|x|}{1+x^2} = 0 \quad \text{and} \quad \lim_{x \to 0} \frac{3|x|}{1+x^2} = 0$$
7. 根据夹逼准则，$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$。要使 $f$ 在 $x=0$ 处连续，我们要求 $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$，因此令 $f(0) = 0$ 即可使 $f$ 在 $0$ 处连续。

## 应用：无穷远处的极限

夹逼准则也非常常用于涉及有界振荡函数的无穷远处极限。任何正弦或余弦函数即使自变量趋近于无穷，仍然有界在 $-1$ 到 $1$ 之间，因此当它乘以一个当 $x \to \pm \infty$ 时趋近于 $0$ 的项时，整个乘积根据夹逼准则趋近于 $0$。对于无穷远处的极限，条件唯一的变化是不等式只需要对所有足够大（或足够小）的 $x$ 成立，这在常见问题中几乎总是满足的。

**例题:** 计算 $\lim_{x \to \infty} \frac{3\cos(2x^2) - 5}{x}$

1. 从余弦函数的通用界开始，然后逐步推导：
2. $$-1 \leq \cos(2x^2) \leq 1 \implies -3 \leq 3\cos(2x^2) \leq 3 \implies -8 \leq 3\cos(2x^2) - 5 \leq -2$$
3. 当 $x \to \infty$，$x$ 为正，因此除以 $x$ 不改变不等号方向，得到我们的界：
4. $$\frac{-8}{x} \leq \frac{3\cos(2x^2) - 5}{x} \leq \frac{-2}{x}$$
5. 计算边界的极限：
6. $$\lim_{x \to \infty} \frac{-8}{x} = 0 \quad \text{and} \quad \lim_{x \to \infty} \frac{-2}{x} = 0$$
7. 两个界都趋近于 $0$，因此根据夹逼准则：
8. $$\lim_{x \to \infty} \frac{3\cos(2x^2) - 5}{x} = 0$$

**例题:** 一个阻尼谐振子在 $t \geq 0$ 时的竖直位置（单位：cm）由 $y(t) = \frac{5 \cos(8\pi t)}{t + 2}$ 给出。使用夹逼准则求 $\lim_{t \to \infty} y(t)$ 并解释结果。

1. 从余弦函数的通用界开始，该界对所有 $t$ 都成立：
2. $$-1 \leq \cos(8\pi t) \leq 1$$
3. 给所有部分乘以 $\frac{5}{t+2}$，对于所有 $t \geq 0$，该项为正，因此不等号方向不变：
4. $$-\frac{5}{t+2} \leq y(t) \leq \frac{5}{t+2}$$
5. 计算边界的极限：
6. $$\lim_{t \to \infty} -\frac{5}{t+2} = 0 \quad \text{and} \quad \lim_{t \to \infty} \frac{5}{t+2} = 0$$
7. 根据夹逼准则，$\lim_{t \to \infty} y(t) = 0$。在物理背景下，这意味着振子的位置会随着时间推移趋近于平衡位置 $0$ cm，这符合阻尼振子损失能量的行为。

> **考试提示:** 当对 $x \to -\infty$ 的不等式除以 $x$ 时，$x$ 为负，因此你必须翻转不等号方向才能得到正确的界。

## 常见错误

- **错误做法:** 计算 $\lim_{x \to 0} x \sin(1/x)$ 时，写出 $-x \leq x \sin(1/x) \leq x$ 却没有考虑负 $x$，导致 $x<0$ 时不等号方向颠倒。
  - 原因: 学生忘记乘以负数会翻转不等号方向，没有调整 $x$ 的符号。
  - 正确做法: 使用绝对值构造界：$|\sin(1/x)| \leq 1$ 可得 $|x \sin(1/x)| \leq |x|$，展开为 $-|x| \leq x \sin(1/x) \leq |x|$，该式对所有 $x \neq 0$ 都成立。
- **错误做法:** 在边界极限不同的情况下应用夹逼准则，例如得出 $\lim_{x \to 0} (x + \sin x) = 0$，理由是 $x-1 \leq x+\sin x \leq x+1$，即使边界分别趋近于 $-1$ 和 $1$。
  - 原因: 学生即使在边界不共享相同极限的情况下，也混淆了夹逼和中间函数位于边界之间这个一般事实。
  - 正确做法: 如果边界极限不同，找到更紧的界，或者使用其他方法例如极限加法法则。
- **错误做法:** 将 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 应用到 $\lim_{x \to 4} \frac{\sin x}{x}$，得出极限是 $1$ 而不是 $\frac{\sin 4}{4}$。
  - 原因: 学生记住了公式但忘记它仅适用于正弦自变量和分母都趋近于 $0$ 的情况。
  - 正确做法: 应用该结果前始终检查自变量和分母是否都趋近于 $0$；非零点处的极限使用直接代入法。
- **错误做法:** 为 $\lim_{x \to 0} x^2 \sin^2(1/x)$ 构造错误界：$x^2 < x^2 \sin^2(1/x) < 2x^2$，而实际上 $\sin^2(1/x)$ 介于 $0$ 和 $1$ 之间。
  - 原因: 学生急于构造界，没有从振荡函数的已知界开始。
  - 正确做法: 始终从振荡项的已知界开始（例如 $0 \leq \sin^2(\text{任意自变量}) \leq 1$），然后逐步构造不等式。
- **错误做法:** 对于 $x \to -\infty$，除以负 $x$ 后保持不等号方向不变，导致边界颠倒，结论错误。
  - 原因: 即使极限趋近于负无穷，学生仍假设 $x$ 是正的。
  - 正确做法: 乘除不等式前确认 $x$ 的符号，当你乘除负数时，始终翻转不等号方向。

## 速查表

| 类别 | 表述/公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 有限点 $a$ 处的夹逼准则 | 若 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ 在 $a$ 附近成立，$\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$，则 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ | 不等式不需要在 $x=a$ 处严格成立 |
| 无穷远处的夹逼准则 | 若 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ 对所有 $x > N$ 成立，$\lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} h(x) = L$，则 $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ | $x \to -\infty$ 的逻辑相同，不等式对 $x < -N$ 成立 |
| 正弦函数的界 | $-1 \leq \sin(u(x)) \leq 1$ | 对任意实数输入 $u(x)$ 都成立 |
| 余弦函数的界 | $-1 \leq \cos(u(x)) \leq 1$ | 对任意实数输入 $u(x)$ 都成立 |
| 平方三角函数的界 | $0 \leq \sin^2(u(x)) \leq 1$，$0 \leq \cos^2(u(x)) \leq 1$ | 对任意实数输入 $u(x)$ 都成立 |
| 基本三角极限 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 仅适用于自变量和分母都趋近于 $0$；角度为弧度制 |
| 不等式法则 | 乘除负数会翻转不等号方向 | 始终检查你乘除的项的符号 |
| 常见结论 | $\lim (\text{有界函数}) \times (\text{趋近于0的项}) = 0$ | 夹逼准则最常用于振荡函数的结果 |

## 下一步

掌握夹逼准则是学习所有三角极限的关键先决条件，它也是证明第2单元后续三角函数核心导数法则所必需的。我们在这里用夹逼准则证明的基本结果 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 被直接用于证明 $\sin x$ 的导数是 $\cos x$，因此理解这个推导是在AP FRQ中获得证明满分的必要条件。对于AP微积分AB，夹逼准则最常出现在考察有界振荡函数极限的选择题中，它和可去间断点处连续性检验直接相关。熟练为该定理构造正确的界可以在考试当天节省你的时间，帮助你避免常见的极限错误。

- [关联极限的多种表示形式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u1-connecting-multiple-representations-of-limits/)
- [探究间断点的类型](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u1-exploring-types-of-discontinuities/)
- [在一点处连续性的定义](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u1-defining-continuity-at-a-point/)

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