利用极限的代数性质求极限

AP 微积分 AB· AP Calculus AB CED — Limits and Continuity· 14 分钟阅读

1. 基本代数极限法则★★☆☆☆⏱ 3 min

基本代数极限法则（或称极限性质）是基础规则，它允许你结合已知的单个函数极限来计算更复杂表达式的极限。以下所有法则都要求 $lim_{x \to a} f (x) = L$ 和 $lim_{x \to a} g (x) = M$ 都存在且为有限实数。

常数倍法则： $lim_{x \to a} [k f (x)] = k L$ 对任意常数 $k$
和/差法则： $lim_{x \to a} [f (x) \pm g (x)] = L \pm M$
乘积法则： $lim_{x \to a} [f (x) g (x)] = L M$
商法则： $lim_{x \to a} \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{L}{M}$ ，当 $M \neq = 0$ 时成立
幂/根法则： $lim_{x \to a} [f (x)]^{n} = L^{n}$ 对任意正整数 $n$ ，且 $lim_{x \to a} n f (x) = n L$ （若 $n$ 为偶数则要求 $L \geq 0$ ）

📐 例题

已知 $lim_{x \to 2} f (x) = - 3$ 且 $lim_{x \to 2} g (x) = 4$ ，求 $lim_{x \to 2} [5 f (x) + (g (x))^{2} - 2 f (x) + 10]$ 。

1
由于两个原极限都是有限值，应用和差法则将表达式拆分为三个独立的极限：
$lim_{x \to 2} 5f(x) + \lim_{x \to 2} (g(x))^2 - \lim_{x \to 2} \sqrt{2 f(x) + 10}$
2
对第一项应用常数倍法则：
$5 \cdot \lim_{x \to 2} f(x) = 5(-3) = -15$
3
对第二项应用幂法则：
$\left(\lim_{x \to 2} g(x)\right)^2 = 4^2 = 16$
4
利用和法则、常数倍法则和根法则化简根式项：
$\sqrt{\lim_{x \to 2} (2f(x) + 10)} = \sqrt{2(-3) + 10} = \sqrt{4} = 2$
5
合并结果得到最终极限：
$-15 + 16 - 2 = -1$

Exam tip:

应用极限法则前，请始终确认两个原极限都存在且为有限值；在处理不定式之前，不能对无穷极限应用商法则或差法则。

2. 连续函数的直接代入法★★☆☆☆⏱ 2 min

所有基本连续函数（多项式、有理函数、根式、指数函数、三角函数）在其定义域内的每一点都连续。根据一点处连续的定义， $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ ，因此你可以直接将 $x = a$ 代入函数得到准确的极限值。该方法在适用时是求极限最快的方法，但如果 $f (a)$ 无定义则失效。

📐 例题

计算 $lim_{x \to - 1} \frac{x ^{3} - 2 x + 5}{x ^{2} - 3}$ 。

1
检查函数在 $x = - 1$ 处是否有定义且连续：该有理函数仅在分母为零时不连续。计算 $x = - 1$ 处的分母：
$(-1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2 \neq 0$
2
由于 $x = - 1$ 在定义域内，直接代入法有效。将 $x = - 1$ 代入分子：
$(-1)^3 - 2(-1) + 5 = -1 + 2 + 5 = 6$
3
应用商法则得到最终极限：
$\frac{6}{-2} = -3$

Exam tip:

对有理函数使用直接代入前，请始终检查分母；若分母为零而分子非零，则极限不存在有限值，因此不要尝试约分。

3. 因式分解求解0/0型不定式★★★☆☆⏱ 4 min

AP考试中最常见的不定式是 $0/0$ 型，它出现在直接代入后有理函数的分子分母都为零的情况。这意味着 $(x - a)$ 是分子和分母的公因式，其中 $a$ 是你趋近的点。因为在求 $lim_{x \to a}$ 时，我们只关心 $a$ 附近的值（不包括 $a$ 本身），所以 $(x - a) \neq = 0$ ，约去公因式在代数上是合法的。约分后，对化简后的表达式使用直接代入法即可。

📐 例题

计算 $lim_{x \to 3} \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 9}$ 。

1
在 $x = 3$ 处试直接代入：
$3^2 - 5(3) + 6 = 0, \quad 3^2 - 9 = 0$
2
我们得到了 $0/0$ 型不定式，因此对分子分母分别因式分解：
$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3), \quad x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$
3
约去公因式 $(x - 3)$ （求极限时 $x \neq = 3$ ，因此该操作合法）：
$\lim_{x \to 3} \frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x-2}{x+3}$
4
对化简后的函数使用直接代入：
$\frac{3-2}{3+3} = \frac{1}{6}$

Exam tip:

直接代入得到0/0后，不要直接得出极限为0或不存在的结论；请始终先检查是否有公因式。AP选择题中大多数0/0型问题都可通过因式分解得到有限极限。

4. 有理化求解不定式★★★☆☆⏱ 4 min

当你得到含平方根的 $0/0$ 型不定式时，通常无法直接因式分解。此时你可以使用有理化，它依赖平方差公式： $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ 。将分子分母同时乘以根式表达式的共轭根式（改变根式项的符号）以消去根号，得到可约去的公因式，之后再使用直接代入法。

📐 例题

计算 $lim_{x \to 0} \frac{x + 4 - 2}{x}$ 。

1
在 $x = 0$ 处试直接代入：
$\sqrt{0+4} - 2 = 0, \quad \text{denominator } = 0$
2
我们得到了需要有理化处理的 $0/0$ 型不定式。将分子分母同时乘以分子的共轭根式 $x + 4 + 2$ ：
$\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x + 4} - 2)(\sqrt{x + 4} + 2)}{x(\sqrt{x + 4} + 2)}$
3
利用平方差公式化简分子：
$(\sqrt{x+4})^2 - (2)^2 = (x+4) - 4 = x$
4
这化简了表达式，之后约去公因子 $x$ （求极限时 $x \neq = 0$ ，因此该操作合法）：
$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2}$
5
使用直接代入得到最终结果：
$\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4}$

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

下列哪个选项等于 $lim_{x \to - 2} \frac{2 x ^{2} + 3 x - 2}{x ^{2} + 5 x + 6}$ ?
- -5
- -\frac{5}{2}
- \frac{1}{3}
- The limit does not exist

Exam tip:

请始终将分子分母同时乘以共轭根式以保持表达式的值不变；忘记乘分母是导致错误答案的常见错误。

5. 常见陷阱

错误做法:

得到 $lim_{x \to 3} \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )}$ 后，约分前就代入 $x = 3$ ，得到 $0/0$ 并得出极限不存在的结论。

原因:

混淆了函数在 $x = a$ 处的值和 $x$ 趋近 $a$ 时的极限；错误认为 $0/0$ 无定义就意味着极限无定义。

正确做法:

请始终先约去公因式，因为求极限时 $x$ 永远不会实际等于 $a$ ，因此 $(x - a)$ 非零，可以约去。

错误做法:

对 $lim_{x \to 2} \frac{x + 2}{x - 2}$ 应用商极限法则，代入2得到 $4/0$ ，然后写下极限为 $0$ 。

原因:

混淆了 $0/4 = 0$ 和 $4/0$ ，后者是无定义的无穷极限。

正确做法:

当直接代入得到分子非零分母为零时，要认识到极限是无穷的（不存在有限实数值），不要颠倒分数。

错误做法:

有理化时，只将分子乘以共轭根式，保留原分母不变。

原因:

忘记必须乘以 $\frac{conjugate}{conjugate} = 1$ 才能保持表达式的值不变，导致结果错误。

正确做法:

请始终将分子分母同时乘以共轭根式，以保持表达式的原值不变。

错误做法:

对 $lim_{x \to \infty} (x^{2} - x)$ 应用差极限法则，得到 $lim x^{2} - lim x = \infty - \infty = 0$ 。

原因:

差法则仅适用于两个极限都是有限的情况；无穷大不是有限数，因此不能直接相减。

正确做法:

在应用任何极限法则之前，先对表达式因式分解或重写以求解 $\infty - \infty$ 型不定式。

错误做法:

计算 $f$ 在 $x = 2$ 处不连续的 $lim_{x \to 2} f (x) g (x)$ 时，直接代入 $f (2) g (2)$ 得到极限。

原因:

错误假设所有函数处处连续，对于不连续函数， $f (a)$ 可能不等于 $x$ 趋近 $a$ 时 $f (x)$ 的极限。

正确做法:

如果没有给出 $f$ 和 $g$ 在 $a$ 处连续，应用乘积法则时使用给定的 $f$ 和 $g$ 的极限，而不是 $a$ 处的函数值。

6. 速查表

类别	公式	说明
常数倍法则	$lim_{x \to a} k f (x) = k lim_{x \to a} f (x)$	当 $lim_{x \to a} f (x)$ 存在时适用
和/差法则	$lim_{x \to a} [f (x) \pm g (x)] = lim f (x) \pm lim g (x)$	仅当两个极限都是有限时适用
乘积法则	$lim_{x \to a} [f (x) g (x)] = (lim f (x)) (lim g (x))$	仅当两个极限都是有限时适用
商法则	$lim_{x \to a} \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{l i m f ( x )}{l i m g ( x )}$	仅当两个极限有限， $lim g (x) \neq = 0$
幂/根法则	$lim [f (x)]^{n} = (lim f (x))^{n}$ , $lim n f (x) = n lim f (x)$	若 $n$ 为偶数，根法则要求 $lim f (x) \geq 0$
直接代入法	$lim_{x \to a} f (x) = f (a)$	仅当 $f$ 在 $x = a$ 处连续， $f (a)$ 有定义
0/0型因式分解法	约去公因式 $(x - a)$ ，计算化简后的极限	因为求 $lim_{x \to a}$ 时 $x \neq = a$ ，所以操作合法
0/0型有理化法	乘分子/分母以根式的共轭根式	消去根号以得到可约去的公因式

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
计算有理函数的极限
2022 · FRQ
连续性检验中的极限步骤

下一步

掌握极限的代数性质是AP微积分AB所有后续内容的基础前提。这项技能是分析连续性、应用介值定理、用极限定义计算导数、计算积分所必需的，因为所有导数和积分都被定义为极限。掌握本小节后，你接下来将学习求无穷远处的极限以得到水平渐近线，之后再正式分析一点和区间上的连续性。如果没有扎实的代数求极限能力，你会在AP考试几乎所有非平凡问题上遇到困难，因为它是大多数自由简答题（FRQ）和许多选择题（MCQ）都需要的中间步骤。