# 利用极限的代数性质求极限

> AP 微积分 AB · 第一单元：极限与连续性
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u1-determining-limits-using-algebraic-properties/

本模块讲解核心极限性质：和、差、积、商、常数倍、幂、根法则，以及直接代入、因式分解和有理化方法求解0/0型不定式极限，这是AP微积分AB的一项核心技能。

**先修:** 单侧极限与双侧极限的基本定义; 多项式与有理函数代数运算; [一点处连续性的定义](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u1-definition-of-continuity/)

## 学习目标

- 运用基本代数极限法则计算函数组合的极限
- 利用直接代入法计算连续函数的极限
- 通过因式分解求解0/0型不定式
- 通过有理化求解含根式的0/0型不定式

## 基本代数极限法则

基本代数极限法则（或称极限性质）是基础规则，它允许你结合已知的单个函数极限来计算更复杂表达式的极限。以下所有法则都要求$\lim_{x \to a} f(x) = L$和$\lim_{x \to a} g(x) = M$都存在且为有限实数。

- 常数倍法则：$\lim_{x \to a} [k f(x)] = kL$ 对任意常数$k$
- 和/差法则：$\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M$
- 乘积法则：$\lim_{x \to a} [f(x)g(x)] = LM$
- 商法则：$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$，当$M \neq 0$时成立
- 幂/根法则：$\lim_{x \to a} [f(x)]^n = L^n$ 对任意正整数$n$，且$\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L}$（若$n$为偶数则要求$L \geq 0$）

**例题:** 已知$\lim_{x \to 2} f(x) = -3$且$\lim_{x \to 2} g(x) = 4$，求$\lim_{x \to 2} \left[ 5f(x) + (g(x))^2 - \sqrt{2 f(x) + 10} \right]$。

1. 由于两个原极限都是有限值，应用和差法则将表达式拆分为三个独立的极限：

   $$lim_{x \to 2} 5f(x) + \lim_{x \to 2} (g(x))^2 - \lim_{x \to 2} \sqrt{2 f(x) + 10}$$
2. 对第一项应用常数倍法则：

   $$5 \cdot \lim_{x \to 2} f(x) = 5(-3) = -15$$
3. 对第二项应用幂法则：

   $$\left(\lim_{x \to 2} g(x)\right)^2 = 4^2 = 16$$
4. 利用和法则、常数倍法则和根法则化简根式项：

   $$\sqrt{\lim_{x \to 2} (2f(x) + 10)} = \sqrt{2(-3) + 10} = \sqrt{4} = 2$$
5. 合并结果得到最终极限：

   $$-15 + 16 - 2 = -1$$

> **考试提示:** 应用极限法则前，请始终确认两个原极限都存在且为有限值；在处理不定式之前，不能对无穷极限应用商法则或差法则。

## 连续函数的直接代入法

所有基本连续函数（多项式、有理函数、根式、指数函数、三角函数）在其定义域内的每一点都连续。根据一点处连续的定义，$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$，因此你可以直接将$x=a$代入函数得到准确的极限值。该方法在适用时是求极限最快的方法，但如果$f(a)$无定义则失效。

**例题:** 计算$\lim_{x \to -1} \frac{x^3 - 2x + 5}{x^2 - 3}$。

1. 检查函数在$x=-1$处是否有定义且连续：该有理函数仅在分母为零时不连续。计算$x=-1$处的分母：

   $$(-1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2 \neq 0$$
2. 由于$x=-1$在定义域内，直接代入法有效。将$x=-1$代入分子：

   $$(-1)^3 - 2(-1) + 5 = -1 + 2 + 5 = 6$$
3. 应用商法则得到最终极限：

   $$\frac{6}{-2} = -3$$

> **考试提示:** 对有理函数使用直接代入前，请始终检查分母；若分母为零而分子非零，则极限不存在有限值，因此不要尝试约分。

## 因式分解求解0/0型不定式

AP考试中最常见的不定式是$0/0$型，它出现在直接代入后有理函数的分子分母都为零的情况。这意味着$(x-a)$是分子和分母的公因式，其中$a$是你趋近的点。因为在求$\lim_{x \to a}$时，我们只关心$a$附近的值（不包括$a$本身），所以$(x-a) \neq 0$，约去公因式在代数上是合法的。约分后，对化简后的表达式使用直接代入法即可。

**例题:** 计算$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 9}$。

1. 在$x=3$处试直接代入：

   $$3^2 - 5(3) + 6 = 0, \quad 3^2 - 9 = 0$$
2. 我们得到了$0/0$型不定式，因此对分子分母分别因式分解：

   $$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3), \quad x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$$
3. 约去公因式$(x-3)$（求极限时$x \neq 3$，因此该操作合法）：

   $$\lim_{x \to 3} \frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x-2}{x+3}$$
4. 对化简后的函数使用直接代入：

   $$\frac{3-2}{3+3} = \frac{1}{6}$$

> **考试提示:** 直接代入得到0/0后，不要直接得出极限为0或不存在的结论；请始终先检查是否有公因式。AP选择题中大多数0/0型问题都可通过因式分解得到有限极限。

## 有理化求解不定式

当你得到含平方根的$0/0$型不定式时，通常无法直接因式分解。此时你可以使用有理化，它依赖平方差公式：$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$。将分子分母同时乘以根式表达式的共轭根式（改变根式项的符号）以消去根号，得到可约去的公因式，之后再使用直接代入法。

**例题:** 计算$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$。

1. 在$x=0$处试直接代入：

   $$\sqrt{0+4} - 2 = 0, \quad \text{denominator } = 0$$
2. 我们得到了需要有理化处理的$0/0$型不定式。将分子分母同时乘以分子的共轭根式$\sqrt{x+4} + 2$：

   $$\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x + 4} - 2)(\sqrt{x + 4} + 2)}{x(\sqrt{x + 4} + 2)}$$
3. 利用平方差公式化简分子：

   $$(\sqrt{x+4})^2 - (2)^2 = (x+4) - 4 = x$$
4. 这化简了表达式，之后约去公因子$x$（求极限时$x \neq 0$，因此该操作合法）：

   $$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2}$$
5. 使用直接代入得到最终结果：

   $$\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4}$$

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

1. 下列哪个选项等于$\lim_{x \to -2} \frac{2x^2 + 3x - 2}{x^2 + 5x + 6}$?

   - -5
   - -\frac{5}{2}
   - \frac{1}{3}
   - The limit does not exist

   *答案:* -5

   *解析:* 正确！直接代入得到0/0，因式分解约去公因式$(x+2)$后，对化简后的表达式直接代入得到最终极限为$-5$。

> **考试提示:** 请始终将分子分母同时乘以共轭根式以保持表达式的值不变；忘记乘分母是导致错误答案的常见错误。

## 常见错误

- **错误做法:** 得到$\lim_{x \to 3} \frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)}$后，约分前就代入$x=3$，得到$0/0$并得出极限不存在的结论。
  - 原因: 混淆了函数在$x=a$处的值和$x$趋近$a$时的极限；错误认为$0/0$无定义就意味着极限无定义。
  - 正确做法: 请始终先约去公因式，因为求极限时$x$永远不会实际等于$a$，因此$(x-a)$非零，可以约去。
- **错误做法:** 对$\lim_{x \to 2} \frac{x+2}{x-2}$应用商极限法则，代入2得到$4/0$，然后写下极限为$0$。
  - 原因: 混淆了$0/4 = 0$和$4/0$，后者是无定义的无穷极限。
  - 正确做法: 当直接代入得到分子非零分母为零时，要认识到极限是无穷的（不存在有限实数值），不要颠倒分数。
- **错误做法:** 有理化时，只将分子乘以共轭根式，保留原分母不变。
  - 原因: 忘记必须乘以$\frac{\text{conjugate}}{\text{conjugate}} = 1$才能保持表达式的值不变，导致结果错误。
  - 正确做法: 请始终将分子分母同时乘以共轭根式，以保持表达式的原值不变。
- **错误做法:** 对$\lim_{x \to \infty} (x^2 - x)$应用差极限法则，得到$\lim x^2 - \lim x = \infty - \infty = 0$。
  - 原因: 差法则仅适用于两个极限都是有限的情况；无穷大不是有限数，因此不能直接相减。
  - 正确做法: 在应用任何极限法则之前，先对表达式因式分解或重写以求解$\infty - \infty$型不定式。
- **错误做法:** 计算$f$在$x=2$处不连续的$\lim_{x \to 2} f(x)g(x)$时，直接代入$f(2)g(2)$得到极限。
  - 原因: 错误假设所有函数处处连续，对于不连续函数，$f(a)$可能不等于$x$趋近$a$时$f(x)$的极限。
  - 正确做法: 如果没有给出$f$和$g$在$a$处连续，应用乘积法则时使用给定的$f$和$g$的极限，而不是$a$处的函数值。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 常数倍法则 | $\lim_{x \to a} k f(x) = k \lim_{x \to a} f(x)$ | 当$\lim_{x \to a} f(x)$存在时适用 |
| 和/差法则 | $\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim f(x) \pm \lim g(x)$ | 仅当两个极限都是有限时适用 |
| 乘积法则 | $\lim_{x \to a} [f(x)g(x)] = (\lim f(x))(\lim g(x))$ | 仅当两个极限都是有限时适用 |
| 商法则 | $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}$ | 仅当两个极限有限，$\lim g(x) \neq 0$ |
| 幂/根法则 | $\lim [f(x)]^n = (\lim f(x))^n$, $\lim \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim f(x)}$ | 若$n$为偶数，根法则要求$\lim f(x) \geq 0$ |
| 直接代入法 | $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ | 仅当$f$在$x=a$处连续，$f(a)$有定义 |
| 0/0型因式分解法 | 约去公因式$(x-a)$，计算化简后的极限 | 因为求$\lim_{x \to a}$时$x \neq a$，所以操作合法 |
| 0/0型有理化法 | 乘分子/分母以根式的共轭根式 | 消去根号以得到可约去的公因式 |

## 下一步

掌握极限的代数性质是AP微积分AB所有后续内容的基础前提。这项技能是分析连续性、应用介值定理、用极限定义计算导数、计算积分所必需的，因为所有导数和积分都被定义为极限。掌握本小节后，你接下来将学习求无穷远处的极限以得到水平渐近线，之后再正式分析一点和区间上的连续性。如果没有扎实的代数求极限能力，你会在AP考试几乎所有非平凡问题上遇到困难，因为它是大多数自由简答题（FRQ）和许多选择题（MCQ）都需要的中间步骤。

- [用代数变形求极限](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u1-determining-limits-using-algebraic-manipulation/)
- [选择求极限的方法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u1-selecting-procedures-for-determining-limits/)
- [夹逼准则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u1-squeeze-theorem/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u1-determining-limits-using-algebraic-properties/