用代数变形求极限

AP 微积分 AB· AP 微积分 AB CED — 极限与连续性· 14 分钟阅读

1. 因式分解求解0/0型不定式★★☆☆☆⏱ 3 min

你在AP考试中最常见到的不定式是 $\frac{0}{0}$ ，当直接代入后在极限点 $x = a$ 处分子分母都为0时就会出现这种情况。根据因式定理， $(x - a)$ 是分子和分母的公因式。我们可以提取出这个公因式并约分，这个操作是合法的，因为当求 $x \to a$ 的极限时， $x$ 永远不会真正等于 $a$ ，所以 $(x - a)$ 永远不为零，约分是被允许的。

📘 定义

0/0型不定式

直接代入后有理函数的分子和分母都趋近于0的结果，这种形式无法得到有效的极限值，需要通过代数变形来求解。

📐 例题

求 $lim_{x \to 3} \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 9}$

1
步骤1：代入验证是否为不定式，当 $x = 3$ 时：
2
$9 - 15 + 6 = 0 \quad (\text{numerator}), \quad 9 - 9 = 0 \quad (\text{denominator})$
3
我们得到了0/0型不定式，因此可以使用因式分解法。
4
步骤2：对分子分母完全因式分解：
5
$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3), \quad x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$
6
步骤3：约去公因式 $(x - 3)$ ，该操作合法，因为当 $x \to 3$ 时 $x \neq = 3$ ：
7
$\lim_{x \to 3} \frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x-2}{x+3}$
8
步骤4：直接代入求值：
9
$\frac{3-2}{3+3} = \frac{1}{6}$

Exam tip:

约分项前一定要先确认是不定式。如果代入后得到非零数除以0，说明极限是无穷大（或不存在），不需要尝试因式分解和约分。

2. 含根式不定式的有理化法★★★☆☆⏱ 3 min

当0/0型不定式来自分子或分母中的根式表达式时，因式分解无法直接使用，因此我们使用有理化法。表达式 $a + b$ 的共轭是 $a - b$ ：也就是改变根式和常数项之间的符号。当我们乘以共轭式后，会得到平方差，从而消去根号，留下可以约分的公因式，进而求解不定式。这种方法在通过极限定义计算导数时非常常用。

📐 例题

求 $lim_{h \to 0} \frac{9 + h - 3}{h}$

1
步骤1：代入验证是否为不定式：
2
$\sqrt{9+0} - 3 = 0 \quad (\text{numerator}), \quad h = 0 \quad (\text{denominator})$
3
我们得到了0/0型不定式，因此需要进行有理化。
4
步骤2：将分子分母同乘以分子的共轭式 $9 + h + 3$ ：
5
$\lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{9 + h} - 3)(\sqrt{9 + h} + 3)}{h(\sqrt{9 + h} + 3)}$
6
步骤3：利用平方差公式化简分子：
7
$(\sqrt{9+h})^2 - 3^2 = (9 + h) - 9 = h$
8
表达式化简为：
9
$\lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{9 + h} + 3)}$
10
步骤4：约去公因式 $h$ ，该操作合法，因为当 $h \to 0$ 时 $h \neq = 0$ ：
11
$\lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{9 + h} + 3}$
12
步骤5：代入 $h = 0$ 得到最终结果：
13
$\frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$

Exam tip:

对造成不定式的根号所在的那一侧进行有理化即可。如果根号在分子上（导数定义问题中很常见），那就有理化分子，而不是分母。

3. 无穷远处的极限：除以x的最高次幂★★★☆☆⏱ 3 min

对于 $x \to \pm \infty$ 的极限（无穷远处的极限），有理函数（多项式除以多项式）经常会出现 $\infty/\infty$ 型不定式。这里的核心思路是，当 $∣ x ∣$ 非常大时，表达式中x的最高次幂主导了所有低次项，低次项在 $x \to \pm \infty$ 时可以忽略不计。化简时，将分子分母的每一项都除以分母中x的最高次幂，然后使用极限法则 $lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x ^{n}} = 0$ 对于任何 $n > 0$ 。

📐 例题

求 $lim_{x \to \infty} \frac{2 x ^{2} - 5 x + 1}{5 x ^{2} + 3 x - 2}$

1
步骤1：确认不定式：当 $x \to \infty$ 时，分子分母都趋近于 $\infty$ ，得到 $\infty/\infty$ 型。
2
步骤2：分母中x的最高次幂是 $x^{2}$ ，因此将所有项都除以 $x^{2}$ ：
3
$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x^2}{x^2} - \frac{5x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{\frac{5x^2}{x^2} + \frac{3x}{x^2} - \frac{2}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}}{5 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2}}$
4
步骤3：应用极限法则：所有含 $\frac{1}{x ^{n}}$ 的项当 $x \to \infty$ 时都趋近于0，因此我们得到：
5
$\frac{2}{5}$

Exam tip:

当处理 $x \to - \infty$ 的问题，需要将x从偶次根号中提出来时，记住对于负数x， $x^{2} = ∣ x ∣ = - x$ 。一个常见错误就是在这里忘记负号。

4. 化简繁分数★★★☆☆⏱ 3 min

繁分数是指分子、分母或两者都包含嵌套的小分数的分数。当我们尝试直接代入时，繁分数经常会产生0/0型不定式，因此我们需要在因式分解和约分之前先消去嵌套分数。找到所有小嵌套分数的最小公分母（LCD），然后将大分数的整个分子和整个分母都乘以这个最小公分母，即可消去所有嵌套分母。

📐 例题

求 $lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x - 1} - 1}{x - 2}$

1
步骤1：在 $x = 2$ 处代入验证：
2
$\frac{1}{1} - 1 = 0 \quad (\text{numerator}), \quad 2 - 2 = 0 \quad (\text{denominator})$
3
我们得到0/0型不定式，因此需要消去嵌套分数。
4
步骤2：嵌套分数的最小公分母是 $(x - 1)$ 。将分子分母同乘以最小公分母：
5
$\lim_{x \to 2} \frac{(x-1)\left(\frac{1}{x-1} - 1\right)}{(x-1)(x - 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{1 - (x - 1)}{(x-1)(x - 2)}$
6
步骤3：化简分子：
7
$1 - x + 1 = 2 - x = -(x - 2), \quad \to \quad \lim_{x \to 2} \frac{-(x - 2)}{(x-1)(x - 2)}$
8
步骤4：约去公因式 $(x - 2)$ （该操作合法，因为当 $x \to 2$ 时 $x \neq = 2$ ），然后代入：
9
$\lim_{x \to 2} \frac{-1}{x-1} = \frac{-1}{2-1} = -1$

Exam tip:

消去分母后化简分子时，一定要正确分配负号——符号错误是这里最常见的错误。

5. AP风格概念检测★★★★☆⏱ 2 min

✓ 快速检测

通过这道选择题测试你的理解：

求 $lim_{x \to - 3} \frac{x ^{2} + 4 x + 3}{x ^{2} - 9}$
- $- \frac{1}{3}$
- $\frac{1}{3}$
- $- \frac{2}{3}$
- 极限不存在
显示答案
1 —
正确。因式分解得到 $\frac{( x + 1 ) ( x + 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{x + 1}{x - 3}$ ，代入 $x = - 3$ 得到 $\frac{- 2}{- 6} = \frac{1}{3}$ 。

6. 常见陷阱

错误做法:

约去单个项/系数而不是整个公因式，例如在 $lim_{x \to 2} \frac{2 ( x - 2 )}{x - 2}$ 中约去2得到0。

原因:

学生混淆了系数化简和约去多项式公因式，错误地去掉了不是整个分子分母公因式的项。

正确做法:

先对分子分母都完全因式分解，然后只约去整个多项式公因式，绝对不要约去单个项或系数。

错误做法:

约去公因式 $(x - a)$ 之前就代入 $x = a$ ，导致再次得到0/0。

原因:

学生在因式分解后急于求解，忘记在代入前从表达式中去掉造成不定式的公因式。

正确做法:

因式分解后，在代入 $x = a$ 之前，明确约去分子分母中的公因式 $(x - a)$ 。

错误做法:

处理 $x \to - \infty$ 带根号的问题时忘记负号，例如认为 $lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x ^{2} + 1} = 1$ 而非-1。

原因:

学生忘记 $x^{2} = ∣ x ∣$ ，对于所有负数x， $x^{2}$ 等于 $- x$ 。

正确做法:

当处理 $x \to - \infty$ 的问题，将x的幂从根号中提出来时，一定要给结果加上负号。

错误做法:

对分数错误的一侧进行有理化，例如对 $lim_{h \to 0} \frac{4 + h - 2}{h}$ 有理化分母，保留了原来的0/0型。

原因:

学生记住了之前代数学的'有理化分母'，并错误地应用在这里。

正确做法:

永远对包含造成0/0不定式的根号那一侧进行有理化。

错误做法:

除以分子中x的最高次幂而非分母中的，导致首项系数比计算错误。

原因:

当分子分母次数不同时，学生混淆了应该使用哪个最高次幂。

正确做法:

无论分子中的最高次幂是多少，永远将每一项除以分母中存在的x的最高次幂。

7. 速查表

类别	法则/公式	注释
0/0型不定式因式分解法	$lim_{x \to a} \frac{( x - a ) f ( x )}{( x - a ) g ( x )} = lim_{x \to a} \frac{f ( x )}{g ( x )}, f (a), g (a) \neq = 0$	该操作合法，因为 $x \to a$ 意味着 $x \neq = a$ ；适用于代入得到0/0的情况
有理化法	乘以共轭式： $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$	当0/0来自根号时使用；对带根号的一侧进行有理化
化简繁分数	分子/分母乘以嵌套分数的最小公分母	因式分解和约分前先消去嵌套分数
无穷远处 $\frac{1}{x ^{n}}$ 的极限	$lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x ^{n}} = 0$ for $n > 0$	对所有正n成立；用于求解有理函数在无穷远处的极限
同次有理函数	$lim_{x \to \pm \infty} \frac{a _{n} x ^{n} + ...}{b _{n} x ^{n} + ...} = \frac{a _{n}}{b _{n}}$	若 $n < m$ 则极限 = 0；若 $n > m$ 则极限是 $\pm \infty$
负数x的根号法则	$x^{2} = ∣ x ∣ = - x$ for $x < 0$	对 $x \to - \infty$ 的问题至关重要；不要忘记负号
不定式 vs 非不定式	$0/0, \infty/\infty$ are indeterminate; $c /0$ ( $c \neq = 0$ ) is not	只有不定式需要代数变形； $c /0$ 意味着极限为无穷大（不存在）

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
0/0型不定式极限求解
2022 · FRQ
连续性问题中的极限求解步骤

下一步

本主题是整个微积分的基础分析技能，因为它能让你精确求解极限，而这是证明连续性、通过极限定义计算导数、化简积分表达式所必需的。在第一单元中，学习完本主题后，你接下来会学习用夹逼定理求极限，然后对间断点分类和应用介值定理（IVT）。如果不掌握这里的代数变形技巧，你就无法求解确认连续性或通过极限定义计算导数所需的极限，而这些都是AP考试中常见的高分值考点。除了第一单元，这个技巧在部分分式积分、反常积分和课程中许多其他主题中都会经常用到。