# 用代数变形求极限

> AP 微积分 AB · AP 微积分 AB CED 第一单元
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u1-determining-limits-using-algebraic-manipulation/

本章节讲解AP微积分AB中求解不定式极限的核心代数方法：因式分解、有理化、化简繁分数，以及无穷远处极限计算中除以$x$最高次幂的方法，这是在精确极限问题中获得满分的必备技能。

**先修:** [直接代入法求基础极限](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u1-introduction-to-limits/); 多项式因式分解与根式共轭的性质

## 学习目标

- 通过因式分解求解0/0型不定式的极限
- 对含根号的不定式进行有理化以求极限
- 求解有理函数在无穷远处的极限
- 化简繁分数以求解不定式极限
- 识别并避免代数变形求极限时的常见错误

## 因式分解求解0/0型不定式

你在AP考试中最常见到的不定式是$\frac{0}{0}$，当直接代入后在极限点$x=a$处分子分母都为0时就会出现这种情况。根据因式定理，$(x-a)$是分子和分母的公因式。我们可以提取出这个公因式并约分，这个操作是合法的，因为当求$x \to a$的极限时，$x$永远不会真正等于$a$，所以$(x-a)$永远不为零，约分是被允许的。

**0/0型不定式** — 直接代入后有理函数的分子和分母都趋近于0的结果，这种形式无法得到有效的极限值，需要通过代数变形来求解。

**例题:** 求$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 9}$

1. 步骤1：代入验证是否为不定式，当$x=3$时：
2. $$9 - 15 + 6 = 0 \quad (\text{numerator}), \quad 9 - 9 = 0 \quad (\text{denominator})$$
3. 我们得到了0/0型不定式，因此可以使用因式分解法。
4. 步骤2：对分子分母完全因式分解：
5. $$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3), \quad x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$$
6. 步骤3：约去公因式$(x-3)$，该操作合法，因为当$x \to 3$时$x \neq 3$：
7. $$\lim_{x \to 3} \frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x-2}{x+3}$$
8. 步骤4：直接代入求值：
9. $$\frac{3-2}{3+3} = \frac{1}{6}$$

> **考试提示:** 约分项前一定要先确认是不定式。如果代入后得到非零数除以0，说明极限是无穷大（或不存在），不需要尝试因式分解和约分。

## 含根式不定式的有理化法

当0/0型不定式来自分子或分母中的根式表达式时，因式分解无法直接使用，因此我们使用有理化法。表达式$a + \sqrt{b}$的共轭是$a - \sqrt{b}$：也就是改变根式和常数项之间的符号。当我们乘以共轭式后，会得到平方差，从而消去根号，留下可以约分的公因式，进而求解不定式。这种方法在通过极限定义计算导数时非常常用。

**例题:** 求$\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{9 + h} - 3}{h}$

1. 步骤1：代入验证是否为不定式：
2. $$\sqrt{9+0} - 3 = 0 \quad (\text{numerator}), \quad h = 0 \quad (\text{denominator})$$
3. 我们得到了0/0型不定式，因此需要进行有理化。
4. 步骤2：将分子分母同乘以分子的共轭式$\sqrt{9+h} + 3$：
5. $$\lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{9 + h} - 3)(\sqrt{9 + h} + 3)}{h(\sqrt{9 + h} + 3)}$$
6. 步骤3：利用平方差公式化简分子：
7. $$(\sqrt{9+h})^2 - 3^2 = (9 + h) - 9 = h$$
8. 表达式化简为：
9. $$\lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{9 + h} + 3)}$$
10. 步骤4：约去公因式$h$，该操作合法，因为当$h \to 0$时$h \neq 0$：
11. $$\lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{9 + h} + 3}$$
12. 步骤5：代入$h=0$得到最终结果：
13. $$\frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$$

> **考试提示:** 对造成不定式的根号所在的那一侧进行有理化即可。如果根号在分子上（导数定义问题中很常见），那就有理化分子，而不是分母。

## 无穷远处的极限：除以x的最高次幂

对于$x \to \pm \infty$的极限（无穷远处的极限），有理函数（多项式除以多项式）经常会出现$\infty/\infty$型不定式。这里的核心思路是，当$|x|$非常大时，表达式中x的最高次幂主导了所有低次项，低次项在$x \to \pm \infty$时可以忽略不计。化简时，将分子分母的每一项都除以分母中x的最高次幂，然后使用极限法则$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^n} = 0$对于任何$n>0$。

**例题:** 求$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 5x + 1}{5x^2 + 3x - 2}$

1. 步骤1：确认不定式：当$x \to \infty$时，分子分母都趋近于$\infty$，得到$\infty/\infty$型。
2. 步骤2：分母中x的最高次幂是$x^2$，因此将所有项都除以$x^2$：
3. $$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x^2}{x^2} - \frac{5x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{\frac{5x^2}{x^2} + \frac{3x}{x^2} - \frac{2}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}}{5 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2}}$$
4. 步骤3：应用极限法则：所有含$\frac{1}{x^n}$的项当$x \to \infty$时都趋近于0，因此我们得到：
5. $$\frac{2}{5}$$

> **考试提示:** 当处理$x \to -\infty$的问题，需要将x从偶次根号中提出来时，记住对于负数x，$\sqrt{x^2} = |x| = -x$。一个常见错误就是在这里忘记负号。

## 化简繁分数

繁分数是指分子、分母或两者都包含嵌套的小分数的分数。当我们尝试直接代入时，繁分数经常会产生0/0型不定式，因此我们需要在因式分解和约分之前先消去嵌套分数。找到所有小嵌套分数的最小公分母（LCD），然后将大分数的整个分子和整个分母都乘以这个最小公分母，即可消去所有嵌套分母。

**例题:** 求$\lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x-1} - 1}{x - 2}$

1. 步骤1：在$x=2$处代入验证：
2. $$\frac{1}{1} - 1 = 0 \quad (\text{numerator}), \quad 2 - 2 = 0 \quad (\text{denominator})$$
3. 我们得到0/0型不定式，因此需要消去嵌套分数。
4. 步骤2：嵌套分数的最小公分母是$(x-1)$。将分子分母同乘以最小公分母：
5. $$\lim_{x \to 2} \frac{(x-1)\left(\frac{1}{x-1} - 1\right)}{(x-1)(x - 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{1 - (x - 1)}{(x-1)(x - 2)}$$
6. 步骤3：化简分子：
7. $$1 - x + 1 = 2 - x = -(x - 2), \quad \to \quad \lim_{x \to 2} \frac{-(x - 2)}{(x-1)(x - 2)}$$
8. 步骤4：约去公因式$(x-2)$（该操作合法，因为当$x \to 2$时$x \neq 2$），然后代入：
9. $$\lim_{x \to 2} \frac{-1}{x-1} = \frac{-1}{2-1} = -1$$

> **考试提示:** 消去分母后化简分子时，一定要正确分配负号——符号错误是这里最常见的错误。

## AP风格概念检测

**概念自测**

通过这道选择题测试你的理解：

1. 求$\lim_{x \to -3} \frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 - 9}$

   - $-\frac{1}{3}$
   - $\frac{1}{3}$
   - $-\frac{2}{3}$
   - 极限不存在

   *答案:* $\frac{1}{3}$

   *解析:* 正确。因式分解得到$\frac{(x+1)(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{x+1}{x-3}$，代入$x=-3$得到$\frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$。

## 常见错误

- **错误做法:** 约去单个项/系数而不是整个公因式，例如在$\lim_{x \to 2} \frac{2(x-2)}{x-2}$中约去2得到0。
  - 原因: 学生混淆了系数化简和约去多项式公因式，错误地去掉了不是整个分子分母公因式的项。
  - 正确做法: 先对分子分母都完全因式分解，然后只约去整个多项式公因式，绝对不要约去单个项或系数。
- **错误做法:** 约去公因式$(x-a)$之前就代入$x=a$，导致再次得到0/0。
  - 原因: 学生在因式分解后急于求解，忘记在代入前从表达式中去掉造成不定式的公因式。
  - 正确做法: 因式分解后，在代入$x=a$之前，明确约去分子分母中的公因式$(x-a)$。
- **错误做法:** 处理$x \to -\infty$带根号的问题时忘记负号，例如认为$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = 1$而非-1。
  - 原因: 学生忘记$\sqrt{x^2} = |x|$，对于所有负数x，$\sqrt{x^2}$等于$-x$。
  - 正确做法: 当处理$x \to -\infty$的问题，将x的幂从根号中提出来时，一定要给结果加上负号。
- **错误做法:** 对分数错误的一侧进行有理化，例如对$\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h}$有理化分母，保留了原来的0/0型。
  - 原因: 学生记住了之前代数学的'有理化分母'，并错误地应用在这里。
  - 正确做法: 永远对包含造成0/0不定式的根号那一侧进行有理化。
- **错误做法:** 除以分子中x的最高次幂而非分母中的，导致首项系数比计算错误。
  - 原因: 当分子分母次数不同时，学生混淆了应该使用哪个最高次幂。
  - 正确做法: 无论分子中的最高次幂是多少，永远将每一项除以分母中存在的x的最高次幂。

## 速查表

| 类别 | 法则/公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 0/0型不定式因式分解法 | $\lim_{x \to a} \frac{(x-a)f(x)}{(x-a)g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}, f(a), g(a) \neq 0$ | 该操作合法，因为$x \to a$意味着$x \neq a$；适用于代入得到0/0的情况 |
| 有理化法 | 乘以共轭式：$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ | 当0/0来自根号时使用；对带根号的一侧进行有理化 |
| 化简繁分数 | 分子/分母乘以嵌套分数的最小公分母 | 因式分解和约分前先消去嵌套分数 |
| 无穷远处$\frac{1}{x^n}$的极限 | $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^n} = 0$ for $n > 0$ | 对所有正n成立；用于求解有理函数在无穷远处的极限 |
| 同次有理函数 | $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{a_n x^n + ...}{b_n x^n + ...} = \frac{a_n}{b_n}$ | 若$n < m$则极限 = 0；若$n > m$则极限是$\pm \infty$ |
| 负数x的根号法则 | $\sqrt{x^2} = \|x\| = -x$ for $x < 0$ | 对$x \to -\infty$的问题至关重要；不要忘记负号 |
| 不定式 vs 非不定式 | $0/0, \infty/\infty$ are indeterminate; $c/0$ ($c \neq 0$) is not | 只有不定式需要代数变形；$c/0$意味着极限为无穷大（不存在） |

## 下一步

本主题是整个微积分的基础分析技能，因为它能让你精确求解极限，而这是证明连续性、通过极限定义计算导数、化简积分表达式所必需的。在第一单元中，学习完本主题后，你接下来会学习用夹逼定理求极限，然后对间断点分类和应用介值定理（IVT）。如果不掌握这里的代数变形技巧，你就无法求解确认连续性或通过极限定义计算导数所需的极限，而这些都是AP考试中常见的高分值考点。除了第一单元，这个技巧在部分分式积分、反常积分和课程中许多其他主题中都会经常用到。

- [夹逼定理求极限](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u1-squeeze-theorem/)
- [选择求极限的方法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u1-selecting-procedures-for-determining-limits/)
- [关联极限的多种表示形式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u1-connecting-multiple-representations-of-limits/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u1-determining-limits-using-algebraic-manipulation/