极限的定义与极限符号的使用

AP 微积分 AB· AP Calculus AB CED — Limits and Continuity· 14 分钟阅读

1. 极限的核心定义与双侧极限符号★☆☆☆☆⏱ 4 min

极限描述了 $x$ 趋近于特定输入值 $a$ 时，函数 $f (x)$ 的变化趋势，与该输入点处 $f (a)$ 的实际值无关。这是整个微积分的基础概念：所有导数和积分都是用极限定义的。AP考试要求你能够在极限趋势的文字描述、符号、图像和表格之间转换。

📘 定义

双侧极限

\lim_{x \to a} f(x) = L

双侧极限描述了 $x$ 从左侧（小于 $a$ 的值）和右侧（大于 $a$ 的值）同时趋近于 $a$ 时， $f (x)$ 趋近的值 $L$ 。 $x$ 会任意接近 $a$ ，但永远不会真正等于 $a$ 。

例:

即使 $f (a)$ 无定义，或 $f (a)$ 不等于 $L$ ，双侧极限仍然可以存在。

📐 例题

函数 $f (x)$ 定义为： $x \neq = 3$ 时 $f (x) = \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ ，且 $f (3) = 10$ 。写出 $x$ 任意接近3时 $f (x)$ 趋近值的正确极限符号，然后求出极限值。

1
这是 $a = 3$ 时的无限制双侧极限，因此我们使用标准双侧极限符号。
2
$\lim_{x \to 3} f(x) = L$
3
对分子因式分解，化简表达式求出 $L$ ：
4
$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$
5
对于 $x \neq = 3$ ，我们可以约去公因子 $(x - 3)$ ，得到 $f (x) = x + 3$ 。
6
当 $x$ 趋近于3时， $x + 3$ 趋近于 $3 + 3 = 6$ ，因此完整的正确符号和值为：
7
$\lim_{x \to 3} f(x) = 6$

Exam tip:

本题中绝对不要写 $f (3) = 6$ 。AP阅卷官会因为你混淆极限值和 $a$ 点的函数值扣分，哪怕你算出了正确的极限。

2. 单侧极限与存在性法则★★☆☆☆⏱ 4 min

单侧极限描述 $x$ 仅从一个方向趋近于 $a$ 时的函数行为。AP考试严格评分单侧极限的符号正确性，并且很多题目（尤其是分段函数题目）都会考察单侧极限与双侧极限存在性的关系。

📘 定义

单侧极限

Left-hand: $lim_{x \to a^{-}} f (x) = L$ , Right-hand: $lim_{x \to a^{+}} f (x) = L$

左极限： $x$ 从小于 $a$ 的值方向趋近于 $a$ 。右极限： $x$ 从大于 $a$ 的值方向趋近于 $a$ 。表示方向的上标永远加在 $a$ 上，不是 $x$ 上。

例:

常用于计算分段函数在两段交点处的极限。

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L

📐 例题

已知分段函数 $g (x) = {2 x + 1 x^{2} - 1 x < 2 x \geq 2$ ，求 $lim_{x \to 2^{-}} g (x)$ 和 $lim_{x \to 2^{+}} g (x)$ ，然后说明 $lim_{x \to 2} g (x)$ 是否存在。

1
对于左极限 $x \to 2^{-}$ ，使用 $x < 2$ 对应的分段函数，即 $2 x + 1$ 。
2
当 $x$ 从左侧趋近于2时， $2 x + 1$ 趋近于 $2 (2) + 1 = 5$ ，因此：
3
$\lim_{x \to 2^-} g(x) = 5$
4
对于右极限 $x \to 2^{+}$ ，使用 $x \geq 2$ 对应的分段函数，即 $x^{2} - 1$ 。
5
当 $x$ 从右侧趋近于2时， $x^{2} - 1$ 趋近于 $4 - 1 = 3$ ，因此：
6
$\lim_{x \to 2^+} g(x) = 3$
7
双侧极限仅当两个单侧极限相等时才存在。因为 $5 \neq = 3$ ，所以 $lim_{x \to 2} g (x)$ 不存在。

Exam tip:

永远记住方向上标要加在 $a$ 上，不是 $x$ 上。符号 $lim_{x^{-} \to 2} g (x)$ 是错误的，在AP考试中会被判错。

3. 无穷极限 vs 无穷远处的极限★★☆☆☆⏱ 3 min

学生经常混淆这两种极限，它们的定义和符号都不同，是AP考试的常考点。无穷极限描述 $x$ 趋近于有限值 $a$ 时，函数无界增长的情况，而无穷远处的极限描述 $x$ 本身无界增长时的函数行为。

📘 定义

无穷极限

$lim_{x \to a} f (x) = \pm \infty$

描述当 $x$ 趋近于有限值 $a$ 时，函数向正无穷无界增长，或向负无穷无界递减的情况。因为无穷大不是实数，所以这个符号表示极限不存在有限值。

例:

用于描述垂直渐近线。

📘 定义

无穷远处的极限

$lim_{x \to \pm \infty} f (x) = L$

描述当 $x$ 向正无穷或负无穷无界增长时，函数趋近的值 $L$ 。如果 $L$ 是有限值，极限就存在。

例:

用于描述端点行为和水平渐近线。

📐 例题

为每个文字描述写出正确的极限符号：(a) 当 $x$ 从右侧趋近于1时，函数 $h (x) = \frac{1}{x - 1}$ 向正无穷无界增长。(b) 当 $x$ 无界持续增大时， $h (x) = \frac{1}{x - 1}$ 趋近于0。

1
对于(a)，这是从右侧趋近于1的单侧无穷极限。方向要求在 $a = 1$ 上加正上标，结果为正无穷。正确符号是：
2
$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x-1} = \infty$
3
对于(b)，这是 $x$ 趋近于正无穷的无穷远处极限，函数趋近于0。正确符号是：
4
$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x-1} = 0$

Exam tip:

如果选择题问当 $lim_{x \to a} f (x) = \infty$ 时极限是否存在，正确答案通常是极限不存在，因为无穷大不是有限实数。

4. AP风格概念检测★★☆☆☆⏱ 3 min

✓ 快速检测

用这些AP风格的选择题测试你对极限符号和核心概念的理解。

下列哪一个是陈述" $x$ 从左侧趋近于 $- 4$ 时 $g (x)$ 趋近的值为 $- 7$ "的正确极限符号？
- A) $lim_{x \to - 4^{+}} g (x) = - 7$
- B) $lim_{x \to - 7^{-}} g (x) = - 4$
- C) $lim_{x \to - 4^{-}} g (x) = - 7$
- D) $lim_{x^{-} \to - 4} g (x) = - 7$
显示答案
C —
正确。 $x$ 趋近的值是 $- 4$ ，从左侧趋近要求在 $a$ 上加负上标，且上标要加在 $a$ 上，不是 $x$ 上。
设 $k (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} - 2 x - 8}{x + 2} 3 x \neq = - 2 x = - 2$ ，求 $lim_{x \to - 2} k (x)$ 的值？
- A) Does not exist
- B) $- 6$
- C) $3$
- D) $- 4$
显示答案
B —
正确。对分子因式分解： $x^{2} - 2 x - 8 = (x - 4) (x + 2)$ ，对于 $x \neq = - 2$ 约去 $(x + 2)$ 得到 $x - 4$ ，其趋近于 $- 2 - 4 = - 6$ 。函数值 $k (- 2) = 3$ 不影响极限。

5. 常见陷阱

错误做法:

左极限写作 $lim_{x^{-} \to 2} f (x)$ ，而非 $lim_{x \to 2^{-}} f (x)$ 。

原因:

学生混淆方向作用于哪个变量；方向是相对于 $a$ 的，不是 $x$ 。

正确做法:

始终将正负上标放在 $x$ 趋近的值 $a$ 上。

错误做法:

即使 $f (x)$ 在 $x$ 接近3时趋近于6，仍称 $lim_{x \to 3} f (x) = 10$ 来匹配 $f (3) = 10$ 。

原因:

学生混淆该点的函数值与该点附近的极限值。

正确做法:

先求 $x$ 接近 $a$ 时 $f$ 趋近的值，再单独检查 $f (a)$ ；永远不要假设二者相等。

错误做法:

因为 $f (a)$ 无定义就断言 $lim_{x \to a} f (x)$ 不存在。

原因:

学生将函数值与极限值绑定，因此认为没有函数值就没有极限。

正确做法:

检查 $a$ 附近 $x$ 处 $f (x)$ 的趋势，不是 $a$ 点本身；即使 $f (a)$ 无定义，极限仍然可以存在。

错误做法:

当 $lim_{x \to \infty} f (x) = 5$ 时，写作 $lim_{x \to \infty} f (x) = D N E$ 。

原因:

学生混淆符号中的无穷大和无穷极限；他们认为任何带无穷的极限都不存在。

正确做法:

只有当函数没有趋近的有限值 $L$ 时才将极限标记为不存在；如果 $x$ 趋近于无穷且 $f (x)$ 趋近于5，极限存在且等于5。

错误做法:

当 $lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 5$ 且 $lim_{x \to 2^{+}} f (x) = 3$ 时，仍称 $lim_{x \to 2} f (x) = 3$ 。

原因:

学生只检查了一个单侧极限而非两个，通常只匹配 $a$ 点处定义的那一侧。

正确做法:

求双侧极限时，一定要先计算两个单侧极限，确认它们相等后再给出结果。

错误做法:

写出 $lim_{x \to a} f (x) = \infty$ 后声称这表示极限存在。

原因:

学生看到等号和写出的无穷大，就错误地认为这表示极限存在有限值。

正确做法:

记住无穷大不是实数；写出 $lim = \infty$ 只是无界增长的符号表示，极限仍然不存在有限值。

6. 速查表

分类	符号	注释
有限双侧极限	$lim_{x \to a} f (x) = L$	当且仅当两个单侧极限都等于 $L$ 时存在；描述从两侧趋近有限值 $a$ 的情况。
左单侧极限	$lim_{x \to a^{-}} f (x) = L$	从小于 $a$ 的值方向趋近；上标加在 $a$ 上，不是 $x$ 上。
右单侧极限	$lim_{x \to a^{+}} f (x) = L$	从大于 $a$ 的值方向趋近；上标加在 $a$ 上，不是 $x$ 上。
双侧极限存在法则	$lim_{x \to a} f (x) = L ⟺ lim_{x \to a^{-}} f (x) = lim_{x \to a^{+}} f (x) = L$	如果单侧极限不相等，双侧极限不存在。
无穷极限（有限 $a$ ）	$lim_{x \to a} f (x) = \pm \infty$	描述无界增长/递减；无穷大不是数，因此极限不存在有限值。
无穷远处的极限	$lim_{x \to \pm \infty} f (x) = L$	描述 $x$ 无界增长时的端点行为；如果 $L$ 是有限值，极限存在。
极限 vs 函数值	$lim_{x \to a} f (x)$ 不一定等于 $f (a)$	极限取决于 $a$ 附近的行为，不是 $a$ 点本身；即使 $f (a)$ 无定义，极限仍然可以存在。
分段函数的单侧极限	使用趋近方向对应的分段函数	$x \to a^{-}$ 时，使用 $x < a$ 对应的分段； $x \to a^{+}$ 时，使用 $x > a$ 对应的分段。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
正确识别极限符号
2022 · FRQ
计算分段函数的单侧极限

深入阅读

syllabus美国大学理事会官方 AP 微积分 AB CED第一单元官方大纲参考

下一步

本主题是整个微积分绝对的基础，因此掌握极限符号，以及"极限描述点附近而非点本身的行为"这一核心思想，对后续所有概念都至关重要。极限符号错误或核心定义理解错误会导致课程后续的一系列错误，包括你写导数的极限定义时，这是AP自由问答题的常见考点。在第一单元的本主题之后，你将在此基础上学习从图像和表格估计极限、代数计算极限、运用极限定义连续性和求渐近线。本主题直接关联从导数到积分的所有主要微积分概念，因此在这里打下扎实基础会让所有后续主题都更简单。