检查$f(2)$是否有定义：根据分段定义，$f(2)=3$，因此条件1成立。

对分子因式分解后计算双侧极限：

因此${\lim }_{x\to 2}f(x)={\lim }_{x\to 2}(x+2)=4$。左极限等于右极限，因此极限存在，条件2成立。

比较极限和函数值：${\lim }_{x\to 2}f(x)=4\ne 3=f(2)$，因此条件3不成立。结论：$f$在$x=2$处不连续。

确认$f(-3)$有定义：$f(-3)=\sqrt{9-(-3{)}^2}=\sqrt{0}=0$，因此函数值存在。

由于$x=-3$是定义域的左端点，只需要验证右极限（定义域内没有$x<-3$的点）。

计算右极限：

比较得：${\lim }_{x\to -3^{+}}f(x)=0=f(-3)$，因此$f$满足端点处连续性的定义。结论：$f$在$x=-3$处连续。

检查$g(1)$：从第二段（$x\ge 1$）得$g(1)=1^2+2=3$，因此$g(1)$有定义。

计算左极限（使用$x<1$对应的第一段）：

计算右极限（使用$x>1$对应的第二段）：

由于左右极限相等，${\lim }_{x\to 1}g(x)=3$，等于$g(1)=3$。所有三个条件都成立。结论：$g(x)$在$x=1$处连续。

要使$x=0$处连续，需要满足${\lim }_{x\to 0}h(x)=h(0)=k$。利用标准三角极限${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin (ax)}{x}=a$，可得：

要满足所有三个条件，$k$必须等于2：$h(0)=2$有定义，极限存在，且${\lim }_{x\to 0}h(x)=h(0)$。正确答案是C。

(a)问：首先，从第二段计算$f(2)$：

接下来，计算$x\to 2^{-}$的左极限：

连续要求极限等于$f(2)$：$12+2a=4b-6$。代入$a=b$得：$12+2a=4a-6⟹18=2a⟹a=9$，因此$b=9$。

(b)问：若$a=1$，左极限变为$12+2(1)=14$。令其等于$4b-6$：$14=4b-6⟹20=4b⟹b=5$。

(c)问：$x=0$是区间$x<2$的内点，$f(x)$在该区间是多项式。所有多项式在全体实数上都连续，因此${\lim }_{x\to 0}f(x)=0+0+4=4=f(0)$。因此对任意$a$和$b$，$f$都在$x=0$处连续。

检查$P(4)$：使用第二段，$P(4)=4.50+0.25(4-4)=4.50$，因此$P(4)$有定义。

计算左极限：

计算右极限：

比较得：${\lim }_{d\to 4}P(d)=4.50=P(4)$，因此所有三个条件都满足。结论：价格函数在$d=4$处连续。在这个情境中，这意味着第4天咖啡价格没有突然跳跃；价格从第4天开始从原4.50美元逐渐上涨，而不是直接跳升到更高价格。