# 在一点处连续性的定义

> AP 微积分 AB · 第1单元：极限与连续性
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u1-defining-continuity-at-a-point/

本指南讲解在一点处连续的正式定义、定义域端点的单侧连续性、分段函数连续性的判断，以及AP微积分AB考试认可的证明过程书写规范。

**先修:** 如何计算单侧极限和双侧极限; 如何计算给定点处的函数值; 如何理解分段函数的定义

## 学习目标

- 陈述定义域内点处连续的三个条件
- 应用单侧连续性定义处理定义域端点
- 判断分段函数在分界点处的连续性
- 正确写出连续性的证明过程，在AP微积分AB自由作答题中获得满分

## 定义域内点处连续的定义

通俗来说，如果画函数图像经过$x=a$时不需要抬笔，那么函数在$x=a$处连续。连续性是微积分的基础性质，几乎所有微积分的高级结论（从介值定理到导数、微积分基本定理）都依赖于它。

**定义域内点$x=a$处的连续性** — 必须同时满足三个独立条件：1. $f(a)$有定义（$a$在$f$的定义域内），2. $\lim_{x \to a} f(x)$存在（两个单侧极限相等且为有限值），3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$。这三个条件可以统一写为一个等式：

*记法:* $f$ is continuous at $x=a$

*例:* 适用于函数定义域内的任意内点

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$

每个条件都有独特的作用：第一个条件确认我们有可比较的函数值，第二个条件确认图像从两侧趋近于同一个值，第三个条件确认该点确实落在趋近的曲线上。

**例题:** 设$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x-2} & x \neq 2 \\ 3 & x = 2 \end{cases}$，问$f$是否满足$x=2$处连续的所有三个条件？

1. 检查$f(2)$是否有定义：根据分段定义，$f(2) = 3$，因此条件1成立。
2. 对分子因式分解后计算双侧极限：
3. $$\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \quad \text{for } x \neq 2$$
4. 因此$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$。左极限等于右极限，因此极限存在，条件2成立。
5. 比较极限和函数值：$\lim_{x \to 2} f(x) = 4 \neq 3 = f(2)$，因此条件3不成立。结论：$f$在$x=2$处不连续。

> **考试提示:** 在AP自由作答题中，证明连续性时一定要明确列出所有三个条件。即使最终结论正确，跳过任何一个条件都会扣分。

## 定义域端点的单侧连续性

对于定义在闭区间$[a,b]$上的函数，端点处不可能存在双侧极限，因为区间外函数没有定义。因此我们用单侧连续性来定义端点处的连续性。

**单侧连续性** — 若$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$，则函数在$x=a$处右连续，用于定义域的左端点。若$\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$，则函数在$x=b$处左连续，用于闭定义域的右端点。

如果函数在所有内点处连续，在左端点右连续，在右端点左连续，那么函数在整个闭区间$[a,b]$上连续。

**例题:** 设$f(x) = \sqrt{9 - x^2}$，定义域为$[-3, 3]$。问$f$在左端点$x=-3$处是否连续？证明你的结论。

1. 确认$f(-3)$有定义：$f(-3) = \sqrt{9 - (-3)^2} = \sqrt{0} = 0$，因此函数值存在。
2. 由于$x=-3$是定义域的左端点，只需要验证右极限（定义域内没有$x < -3$的点）。
3. 计算右极限：
4. $$\lim_{x \to -3^+} \sqrt{9 - x^2} = \sqrt{ \lim_{x \to -3^+} (9 - x^2) } = \sqrt{9 - 9} = 0$$
5. 比较得：$\lim_{x \to -3^+} f(x) = 0 = f(-3)$，因此$f$满足端点处连续性的定义。结论：$f$在$x=-3$处连续。

> **考试提示:** 永远不要在定义域端点处验证双侧极限。AP阅卷官会因为你引用函数定义域外不存在的极限扣分。

## 分段函数分界点处连续性的判断

AP考试中这个考点最常见的问题，就是让你判断分段函数定义改变的分界点处的连续性。分段函数的每一段单独几乎都是连续的（多项式、有理函数、三角函数在各自定义域内都连续），因此唯一可能的间断点就在分段之间的分界点。

1. 从包含$x=a$的分段中求出$f(a)$。
2. 用$x < a$对应的分段计算左极限$\lim_{x \to a^-} f(x)$。
3. 用$x > a$对应的分段计算右极限$\lim_{x \to a^+} f(x)$。
4. 确认两个单侧极限相等（因此双侧极限存在），再确认极限值等于$f(a)$。

**例题:** 设$g(x) = \begin{cases} 2x + 1 & x < 1 \\ x^2 + 2 & x \geq 1 \end{cases}$，判断$g$在两段分界点$x=1$处是否连续，证明你的结论。

1. 检查$g(1)$：从第二段（$x \geq 1$）得$g(1) = 1^2 + 2 = 3$，因此$g(1)$有定义。
2. 计算左极限（使用$x < 1$对应的第一段）：
3. $$\lim_{x \to 1^-} (2x + 1) = 2(1) + 1 = 3$$
4. 计算右极限（使用$x > 1$对应的第二段）：
5. $$\lim_{x \to 1^+} (x^2 + 2) = 1^2 + 2 = 3$$
6. 由于左右极限相等，$\lim_{x \to 1} g(x) = 3$，等于$g(1) = 3$。所有三个条件都成立。结论：$g(x)$在$x=1$处连续。

> **考试提示:** 一定要将极限的方向与分段的不等式对应。交换左右分段是这类问题最常见的错误。

## AP风格练习例题解答

**例题:** 设$h(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin(2x)}{x} & x \neq 0 \\ k & x = 0 \end{cases}$，$k$取何值时$h(x)$在$x=0$处连续？
A) $0$
B) $1$
C) $2$
D) $\frac{1}{2}$

1. 要使$x=0$处连续，需要满足$\lim_{x \to 0} h(x) = h(0) = k$。利用标准三角极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a$，可得：
2. $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2$$
3. 要满足所有三个条件，$k$必须等于2：$h(0)=2$有定义，极限存在，且$\lim_{x \to 0} h(x) = h(0)$。正确答案是C。

**例题:** 设$f(x) = \begin{cases} x^3 + ax + 4 & x < 2 \\ bx^2 - 3x & x \geq 2 \end{cases}$。
(a) 若$a = b$，求所有使$f(x)$在$x=2$处连续的$a$和$b$的值。
(b) 若$a = 1$，求使$f$在$x=2$处连续的$b$的值。
(c) 对任意$a$和$b$，$f$在$x=0$处连续吗？证明你的结论。

1. (a)问：首先，从第二段计算$f(2)$：
2. $$f(2) = b(2)^2 - 3(2) = 4b - 6$$
3. 接下来，计算$x \to 2^-$的左极限：
4. $$\lim_{x \to 2^-} (x^3 + ax + 4) = 8 + 2a + 4 = 12 + 2a$$
5. 连续要求极限等于$f(2)$：$12 + 2a = 4b - 6$。代入$a=b$得：$12 + 2a = 4a - 6 \implies 18 = 2a \implies a=9$，因此$b=9$。
6. (b)问：若$a=1$，左极限变为$12 + 2(1) = 14$。令其等于$4b - 6$：$14 = 4b - 6 \implies 20 = 4b \implies b=5$。
7. (c)问：$x=0$是区间$x < 2$的内点，$f(x)$在该区间是多项式。所有多项式在全体实数上都连续，因此$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 + 0 + 4 = 4 = f(0)$。因此对任意$a$和$b$，$f$都在$x=0$处连续。

**例题:** 一家咖啡店用函数$P(d) = \begin{cases} 4.50 & 0 \leq d < 4 \\ 4.50 + 0.25(d - 4) & 4 \leq d \leq 10 \end{cases}$建模10天内大杯咖啡的价格，其中$P(d)$是第$d$天的价格（单位：美元），定义域为$0 \leq d \leq 10$。问价格函数在涨价开始的第$d=4$天是否连续？证明你的结论，并解释连续性在这个情境中的含义。

1. 检查$P(4)$：使用第二段，$P(4) = 4.50 + 0.25(4-4) = 4.50$，因此$P(4)$有定义。
2. 计算左极限：
3. $$\lim_{d \to 4^-} P(d) = 4.50$$
4. 计算右极限：
5. $$\lim_{d \to 4^+} \left(4.50 + 0.25(d-4)\right) = 4.50 + 0 = 4.50$$
6. 比较得：$\lim_{d \to 4} P(d) = 4.50 = P(4)$，因此所有三个条件都满足。结论：价格函数在$d=4$处连续。在这个情境中，这意味着第4天咖啡价格没有突然跳跃；价格从第4天开始从原4.50美元逐渐上涨，而不是直接跳升到更高价格。

## 常见错误

- **错误做法:** 对于$x \neq 3$时$f(x) = \frac{x^2 - 9}{x-3}$，且$f(3)=6$，结论说$f$在$x=3$处不连续，因为原式在$x=3$处无定义。
  - 原因: 学生把未化简的代数式和题目给出的函数定义混淆了，忘记题目已经明确定义了$f(3)$。
  - 正确做法: 永远使用题目给出的函数定义来判断$f(a)$是否有定义，而不是未化简的表达式。
- **错误做法:** 只验证了$\lim_{x \to a} f(x)$存在，就得出在$a$处连续的结论。
  - 原因: 学生忘记$f(a)$可能无定义，或者$f(a)$的值和极限不相等。
  - 正确做法: 在自由作答题中证明连续性时，一定要按顺序明确验证所有三个条件。
- **错误做法:** 声称函数在端点$x=a$处不连续，因为双侧极限不存在。
  - 原因: 学生把内点的双侧连续性定义和端点的连续性定义混淆了。
  - 正确做法: 对于函数定义域的任意端点，只需要验证存在的单侧极限（左端点验证右极限，右端点验证左极限），再将其与函数值比较即可。
- **错误做法:** 对于分界点为$x=a$的分段函数，用右分段计算左极限，用左分段计算右极限。
  - 原因: 学生做题太快，误读了定义分段的不等号。
  - 正确做法: 计算单侧极限前，给每个分段的不等号下划线，将极限方向和不等号对应起来。
- **错误做法:** 仅因为$\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$就得出内点$x=a$处连续，没有验证右极限。
  - 原因: 学生把端点的单侧连续性要求和内点的要求混淆了。
  - 正确做法: 对于任意内点，一定要确认两个单侧极限都存在、相等，且都等于$f(a)$。

## 速查表

| 类别 | 公式/规则 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 内点$x=a$处连续 | $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ | 需要三个条件：$f(a)$有定义、$\lim_{x \to a} f(x)$存在、等式成立 |
| $x=a$处右连续 | $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ | 用于定义域左端点，仅需要验证右极限 |
| $x=b$处左连续 | $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$ | 用于定义域右端点，仅需要验证左极限 |
| 端点处连续 | 单侧极限等于函数值 | 不需要双侧极限，因为区间外函数无定义 |
| 分段分界点检验 | 左极限用左分段，右极限用右分段 | 极限方向要与定义分段的不等号对应 |
| 多项式的连续性 | 所有多项式在所有实点处都连续 | 多项式分段内的任意内点都自动连续 |
| 有理函数的连续性 | 在所有分母$\neq 0$的点处连续 | 在分母为零的点处不连续 |
| 根式函数的连续性 | 在定义域内所有点处连续 | 在定义域端点处需要验证单侧连续性 |

## 下一步

在一点处连续性的定义是几乎整个微积分后续内容的基础先修知识。接下来，你会把这个定义推广到区间上的连续性，这是应用介值定理（IVT）的前提，介值定理是AP微积分AB考试中最常考的定理之一。你还会用这个定义对不同类型的间断点分类，求解使分段函数连续的常数，这是选择题和自由作答题中都很常见的问题。

- [验证区间上的连续性](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u1-confirming-continuity-over-an-interval/)
- [消除间断点](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u1-removing-discontinuities/)
- [无穷极限与垂直渐近线的联系](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u1-connecting-infinite-limits-and-vertical/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u1-defining-continuity-at-a-point/