无穷远极限与水平渐近线的联系

AP 微积分 AB· AP Calculus AB CED — Limits and Continuity· 14 分钟阅读

1. 水平渐近线的核心定义与性质★★☆☆☆⏱ 3 min

本主题将函数的代数端点行为与水平渐近线的图像概念联系起来，是AP微积分AB第1单元的要求学习内容，占考试总分的10–12%，在选择题和自由问答题中均会出现。

📘 定义

水平渐近线

$y = L$

当 $x$ 趋近于正无穷（ $x \to \infty$ ）或负无穷（ $x \to - \infty$ ）时， $f (x)$ 的图像所趋近的一条水平线。正式定义为：若 $lim_{x \to \infty} f (x) = L$ 或 $lim_{x \to - \infty} f (x) = L$ ，则 $y = L$ 是 $f$ 的一条水平渐近线。

例:

$y = 0$ 是 $f (x) = 1/ x$ 的一条水平渐近线

垂直渐近线对应有限 $x$ 处的无穷极限，与之不同，水平渐近线描述的是函数的长期端点行为。函数可以在有限 $x$ 处穿过其水平渐近线，且一个函数可以有0、1或2条不同的水平渐近线。

2. 求有理函数的水平渐近线★★☆☆☆⏱ 4 min

有理函数的形式为 $f (x) = \frac{P ( x )}{Q ( x )}$ ，其中 $P (x)$ 是次数为 $n$ 的多项式， $Q (x)$ 是次数为 $m$ 的多项式。水平渐近线仅由 $n$ 和 $m$ 的大小关系决定，推导方法是在计算 $x \to \pm \infty$ 的极限时，从两个多项式中提取首项公因子。

\lim_{x \to \pm \infty} \frac{a_n x^n \left(1 + ... + \frac{a_0}{a_n x^n}\right)}{b_m x^m \left(1 + ... + \frac{b_0}{b_m x^m}\right)} = \frac{a_n}{b_m} \lim_{x \to \pm \infty} x^{n - m}

若 $n < m$ ：极限等于 $0$ ，因此水平渐近线为 $y = 0$ 。
若 $n = m$ ：极限等于 $\frac{a _{n}}{b _{m}}$ ，因此水平渐近线为 $y = \frac{a _{n}}{b _{m}}$ 。
若 $n > m$ ：极限趋近于 $\pm \infty$ ，因此不存在水平渐近线。

有理函数在 $x \to \infty$ 和 $x \to - \infty$ 时的极限（或无穷极限）总是相同的，因此有理函数只能有0或1条水平渐近线。

📐 例题

求 $f (x) = \frac{5 x ^{3} - 4 x ^{2} + 10}{- 2 x ^{3} + 7 x + 28}$ 的所有水平渐近线。

1
1. 确定分子和分母的次数：分子 $P (x)$ 的次数为 $n = 3$ ，分母 $Q (x)$ 的次数为 $m = 3$ 。
2
由于 $n = m$ ，我们通过完整的极限计算验证结果：
3
从分子和分母中提取 $x$ 的最高次幂：
4
$\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 - 4x^2 + 10}{-2x^3 + 7x + 28} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3\left(5 - \frac{4}{x} + \frac{10}{x^3}\right)}{x^3\left(-2 + \frac{7}{x^2} + \frac{28}{x^3}\right)} = \frac{5 - 0 + 0}{-2 + 0 + 0} = -\frac{5}{2}$
5
$x \to - \infty$ 时的极限也为 $- \frac{5}{2}$ ，因此仅存在一条水平渐近线。
6
结论：唯一的水平渐近线是 $y = - \frac{5}{2}$ 。

Exam tip:

求解有理函数的水平渐近线时，不要浪费时间展开或因式分解整个多项式，只需提取分子和分母的首项，应用次数法则即可。

3. 求非有理函数的水平渐近线★★★☆☆⏱ 4 min

并非所有存在水平渐近线的函数都是有理函数。指数函数、逻辑函数、带根号的函数等非有理函数，在 $x \to \infty$ 和 $x \to - \infty$ 时的极限往往不同，因此你必须分别计算两个极限。非有理函数可以存在两条不同的水平渐近线。

指数函数的核心法则：对任意正常数 $k$ ， $lim_{x \to \infty} e^{- k x} = 0$ 且 $lim_{x \to - \infty} e^{k x} = 0$ 。

📐 例题

求 $f (x) = \frac{3 e ^{x} + 6}{5 e ^{x} - 10}$ 的所有水平渐近线。

1
由于指数函数的行为随 $x$ 的符号变化，我们需要分别计算两个极限： $x \to \infty$ 和 $x \to - \infty$ 时的极限。
2
计算 $lim_{x \to \infty} f (x)$ ：当 $x \to \infty$ 时， $e^{x}$ 无限增长，因此将分子分母同除以 $e^{x}$ ：
3
$\lim_{x \to \infty} \frac{3e^x + 6}{5e^x - 10} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{6}{e^x}}{5 - \frac{10}{e^x}} = \frac{3 + 0}{5 - 0} = \frac{3}{5}$
4
计算 $lim_{x \to - \infty} f (x)$ ：当 $x \to - \infty$ 时， $e^{x} \to 0$ ，因此直接代入：
5
$\lim_{x \to -\infty} \frac{3e^x + 6}{5e^x - 10} = \frac{3(0) + 6}{5(0) - 10} = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$
6
两个极限都是有限且不同的，因此两条直线都是水平渐近线。结论：水平渐近线是 $y = \frac{3}{5}$ 和 $y = - \frac{3}{5}$ 。

Exam tip:

求解非有理函数时一定要分别计算两个极限。如果你只计算 $x \to \infty$ 的极限，就会漏掉第二条水平渐近线，而这通常是采分点。

4. 在实际场景中解释水平渐近线★★★☆☆⏱ 3 min

在AP微积分AB考试中，你经常会被要求在实际场景中解释水平渐近线的意义，这类题通常出现在自由问答题中。要拿到满分，你必须明确将极限定义与题目中的变量联系起来，并带上单位。

若 $x \to \infty$ 时 $y = L$ 是水平渐近线，其中 $x$ 是自变量（通常是时间、数量）， $y$ 是因变量（人口、温度、成本），那么解释必须说明：当自变量无限增大时，因变量趋近于 $L$ ，并带上单位。

📐 例题

一杯热咖啡的牛顿冷却定律给出：咖啡倒出后 $t$ 分钟的温度 $T (t)$ （单位：摄氏度）为 $T (t) = 22 + 76 e^{- 0.08 t}$ 。找出 $t \geq 0$ 时 $T (t)$ 的水平渐近线，并在场景中解释其意义。

1
由于时间 $t$ 只能从0开始增加，我们只需计算 $t \to \infty$ 时的极限。
2
应用指数极限法则：对于 $k = 0.08 > 0$ ， $lim_{t \to \infty} e^{- 0.08 t} = 0$ ，代入函数得：
3
$\lim_{t \to \infty} (22 + 76e^{-0.08t}) = 22 + 76(0) = 22$
4
水平渐近线是 $y = 2 2^{\circ} C$ 。结合变量和单位写出解释：
5
随着咖啡倒出后的分钟数无限增大，咖啡的温度趋近于22摄氏度（室温）。

Exam tip:

在自由问答题的解释题中，如果你只写出渐近线，是拿不到满分的。你必须明确结合场景提及两个变量的行为，并带上单位。

5. 常见陷阱

错误做法:

认为因为 $f (5) = L$ （函数在有限 $x$ 处穿过该直线），所以 $y = L$ 不可能是水平渐近线。

原因:

学生错误地将垂直渐近线的规则（函数永远不会穿过垂直渐近线）套用到水平渐近线上。

正确做法:

始终使用极限定义：若 $lim_{x \to \pm \infty} f (x) = L$ ，则无论函数是否在有限 $x$ 处穿过， $y = L$ 都是水平渐近线。

错误做法:

对于有理函数 $f (x) = \frac{4 x ^{3}}{2 x ^{2} + 1}$ ，声称其水平渐近线为 $y = 2$ 。

原因:

没有先检查次数是否相等，就直接比较首项系数。

正确做法:

始终先比较次数。如果分子次数大于分母次数，直接说明不存在水平渐近线。

错误做法:

对于 $f (x) = \frac{2 e ^{x}}{e ^{x} + 1}$ ，只找到 $y = 2$ 这一条水平渐近线就停止计算。

原因:

和有理函数一样，假设所有函数在 $x \to \infty$ 和 $x \to - \infty$ 时的极限都相同。

正确做法:

列出非有理函数的所有水平渐近线之前，一定要分别计算 $lim_{x \to \infty} f (x)$ 和 $lim_{x \to - \infty} f (x)$ 。

错误做法:

将水平渐近线 $P = 1000$ （人口，单位：千）解释为"人口最终会达到1000"。

原因:

在场景中混淆了"趋近"和"达到"这两个极限概念。

正确做法:

始终使用"趋近于"或"无限接近"的表述，并说明这描述的是自变量无限增大时的长期行为。

错误做法:

当 $x \to - \infty$ 时，将 $x^{2} + 2 x$ 化简为 $x 1 + 2/ x$ ，并保留正的 $x$ 系数。

原因:

忘记了当 $x$ 为负数时， $x^{2} = ∣ x ∣ = - x$ 。

正确做法:

从二次项的平方根中提取公因子时，始终提取 $∣ x ∣$ ，并根据极限的方向调整符号。

6. 速查表

类别	法则/公式	注释
水平渐近线定义	$y = L$ is a HA if $lim_{x \to \infty} f (x) = L$ or $lim_{x \to - \infty} f (x) = L$	一个函数可以有0、1或2条水平渐近线；函数可以在有限 $x$ 处穿过水平渐近线
有理函数： $de g (分子) < de g (分母)$	HA at $y = 0$	$x \to \infty$ 和 $x \to - \infty$ 对应同一条水平渐近线
有理函数： $de g (分子) = de g (分母)$	HA at $y = \frac{a _{n}}{b _{m}}$ , $a_{n}$ = 分子首项系数, $b_{m}$ = 分母首项系数	仅适用于次数相等的情况
有理函数： $de g (分子) > de g (分母)$	No horizontal asymptote	Slant asymptotes are not tested on AP Calculus AB
指数极限法则	For $k > 0$ : $lim_{x \to \infty} e^{- k x} = 0$ , $lim_{x \to - \infty} e^{k x} = 0$	计算极限时始终除以主导指数项
非有理函数	分别计算 $lim_{x \to \infty} f (x)$ 和 $lim_{x \to - \infty} f (x)$	非有理函数通常有两条不同的水平渐近线
场景解释	"As [x variable] increases without bound, [y variable] approaches $L$ [units]"	必须同时包含变量和单位才能拿到自由问答题的满分

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · MCQ
求有理函数的水平渐近线
2023 · FRQ
在冷却问题场景中解释水平渐近线的意义

下一步

本主题是AP微积分AB第1单元后续概念以及整个课程后续内容的基础先修知识。掌握无穷远极限和水平渐近线后，你将继续学习第1单元中连续性的正式定义，之后在第5单元《微分的分析应用》中学习完整的函数绘图，你会用到水平渐近线来完整描述函数的端点行为。本主题对于理解第7单元的逻辑增长模型也至关重要，其中人口的环境容纳量恰好就是解曲线的水平渐近线。如果不掌握如何从极限中寻找和解释水平渐近线，你会很难在自由问答题中对端点行为进行论证，也无法正确解释增长和衰减的场景模型。